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fascio di piani basterà pertanto esaminare tutti i possibili gruppi proiettivi sopra 

 varietà M3 contenenti un fascio (serie razionale x^ d'indice uno) di piani, di qua- 

 driche, e di coni (razionali normali). È quello che noi faremo appunto nei prossimi 

 tre capitoli. 



CAPITOLO IV. 



GrupjH equivalenti a (/ruppi proiettivi 

 sopra varietà contenenti una serie coi razionale normale di piani. 



11. — La determinazione dei diversi gruppi tipici dì questa categoria si effettua 

 assai facilmente in base al teorema seguente: 



Ogni gruppo proiettivo sopra una varietà contenente una serie ooi razionale nor- 

 male dì piani è equivalente a un gruppo anche proiettivo sopra un'analoga varietà ra- 

 zionale normale di piani la quale sia: 



una M3 di S5 {con <x>'^ direttrici rettilinee); 

 oppure un cono {di prima di seconda specie). 

 È stato infatti dimostrato dal Sig. Segre (') che ogni varietà M,' contenente una 

 serie coi razionale normale di piani appartiene a uno spazio S„4.2, e, quando non 

 sia un cono, deve ammettere: 



o un sistema co^ di direttrici (minime) di ordine -^, formanti una congruenza 



del primo ordine; 



oppure una sola, anche un sistema 00 1 di direttrici minime di un certo or- 

 dine ni < ^' , formanti in quest'ultimo caso una rigata minima di ordine 2ni. 



D'altra parte, un gruppo proiettivo sopra una tale M3 di S„.^o deve sempre tras- 

 formare in se, oltre al sistema lineare delle sezioni iperpiane di questa varietà, anche 

 il sistema residuo di esso rispetto a un numero qualunque di piani (ossia il sistema 

 lineare segato dagli S„_i passanti per questi piani). — Ora, se vi sono cc^ direttrici 



minime di ordine ^, gli S„^i passanti per -^ — 1 piani qualunque segheranno sulla M3' 



un sistema lineare oo^, rappresentante una varietà di piani con co^ direttrici retti- 

 linee; e questa varietà sarà appunto una M3 (non conica) di S5: (per n = 3, la M? sa- 

 rebbe essa stessa una 'tale MI). Ogni gruppo proiettivo sulla M3 sarà allora equi- 

 valente a un gruppo anche proiettivo su questa M3. 



Se invece la M3 contiene almeno una direttrice di ordine m < —, gli S„+i pas- 

 santi per m sui piani arbitrari l'incontreranno ulteriormente secondo un sistema li- 

 neare di grado n — Sm e dimensione n — 3m-\-2 (perciò almeno cc^) di rigate di 

 ordine n — m. Perciò ogni gruppo proiettivo sulla data M; sarà equivalente a un 



(') Sulle larietà normali a tre dimensioni composte di serie semplici razionali di piani {' Atti della 

 R. Acc. di Torino „ voi. XXI, 1885). 



