19 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 239 



gruppo anche proiettivo sulla varietà Ms"'" di S„_3„4.2 rappresentata da quest'ultimo 

 sistema (e che sarà ancora varietà normale di piani). E poiché il passaggio per una 

 direttrice C" deUa M" non impone alle superficie (rigate) del detto sistema lineare che 

 una sola condizione, cos'i si conclude che alle stesse C" dovranno corrispondere sulla 

 M5"'"'" altrettanti punti comuni agli x' piani; vale a dire questa M"~ "" sarà un cono, 

 di prima o seconda specie (con un unico vertice cioè, o con una retta asse) secondo 

 che la M5 conteneva una sola direttrice C", oppure un sistema co' di tali curve. 



Il teorema enunciato è dunque completamente dimostrato; e nella determina- 

 zione dei gruppi tipici di questa categoria noi possiamo perciò limitarci a conside- 

 rare i gruppi proiettivi sulle M3 di S5 e sui coni contenenti cc^ piani. 



12. — Ora, ogni gruppo proiettivo sopra una M| di S5 (contenente 00 1 piani eoo^ 

 direttrici rettilinee) è equivalente a un gruppo al piìi coi' di trasformazioni quadra- 

 tiche del tipo incontrato al n° 4. 



E sappiamo pure che ogni gruppo proiettivo sopra un cono razionale, a tre 

 dimensioni, di 1" specie (composto no di una serie coi di piani) è equivalente a 

 un gruppo di trasformazioni cremoniane di un certo ordine n di uno dei tipi incon- 

 trati al n° 9. 



Resta soltanto a vedere come si rappresentino sullo spazio S3 i coni razionali 

 normali di 2* specie, e quali trasformazioni cremoniane vengano così a corrispondere 

 alle trasformazioni proiettive su di essi. 



Per rappresentare birazionalmente sopra S3 un cono f" di S„+2 (di 2^ specie), 

 possiamo proiettarlo da » — 1 suoi punti, presi su altrettanti piani distinti (più general- 

 mente, da un S„_2 che l'incontri (soltanto) in 71 — 1 punti, i quali potrebbero anche es- 

 sere, tutti o in parte, infinitamente vicini). 1 piani del cono f" si proiettano allora in 

 piani di un fascio; e le sue co""^^ sezioni iperpiane si proiettano in coni di ordine n col 

 vertice sull'asse >■ di quel fascio, e con quest'asse come generatrice (« — ly^^. Lungo 

 questa generatrice i detti coni saranno tutti tangenti agli stessi n — 1 piani (imma- 

 gini dei centri di proiezione su f"). Da queste condizioni il sistema lineare co"+- rap- 

 presentativo di T" è già completamente individuato, perchè vi sono appunto 00"+' 

 coni soddisfacenti alle condizioni stesse e aventi il vertice in un punto arbitrario 

 della r. 



Alle trasformazioni proiettive del cono F" corrisponderanno in S3 trasformazioni 

 cremoniane, le quali dovranno mutare in sé stesso questo sistema 00"+^ di coni. Il 

 gruppo piìi ampio di tali trasformazioni — ossia il gruppo di tutte le trasformazioni 

 proiettive sopra un cono P" di S„ ^.^ di seconda specie — dipende da 2n-\- 9 para- 

 metri. (Infatti, fissando un punto della retta asse, il che equivale a una sola con- 

 dizione, devono restar disponibili , secondo il risultato del n° 9, >• + s -}- 1 para- 

 metri, essendo precisamente r = n + 2, s ^n -\- b; onde r -\- s -\- l = 2n -{- 8). Per 

 « = 1 si ha il gruppo proiettivo cci' con una retta fissa; per n =; 2 si ha un 

 gruppo co 13 di trasformazioni quadratiche, di cui è fatto cenno nella comunicazione 

 cit. del Sig. NoETHER (cfr. n° 4). 



Diremo perciò: I gruppi cremoniani equivalenti ai gruppi proiettivi sopra coni di 

 2^ specie si riducono hirazionalmente a gruppi {di dimensione < 2« + 9) di trasforma- 



