21 I GRUPPI DI JONQUiÉRES GENERALIZZATI 241 



colle generatrici tutte parallele al piano xy. E le equazioni del gruppo totale 

 sarebbero : 



, _ gj + Py + <?"(') ,/ _ ^x+hy-\-v/n{z) . ^, __ az-\-b 



* ~ (c-J + rf;" ■ ^ {cz-[-dY ' ~ cz + d ■ 



Dal sistema invariante oc"+^ di coni si possono estrarre i sistemi onialoidici de- 

 terminanti le diverse trasformazioni del gruppo, prendendo quei coni che passano 

 per n — 1 punti i quali, se n > 5, vengano proiettati da r secondo un gruppo di 

 piani proiettivo al gruppo dei piani tangenti fissi lungo r medesima. Questi sistemi 

 onialoidici, e le relative trasformazioni cremoniane, furono studiati recentemente dal 

 Sig. Del Pezzo (■)• 



Concludiamo pertanto: 



J gruppi cremoniani equivalenti a gruppi proiettivi sopra varietà contenenti una 

 serie co' di piani si riducono tutti Urazionalmente a uno dei seguenti casi tipici: 



1° Gruppi al più 00" di trasformazioni quadratiche da noi incontrati al n° 4; 

 2" Gruppi di trasformazioni monoidali di un certo ordine n incontrati ed n° 9 

 (anzi casi particolari di questi); 



3° Gruppi al più 00°"+' di trasformazioni coniche di un certo ordine n costruiti 

 in questo stesso n° 12. 



Ciascuno di questi gruppi opera proiettivamente sui singoli piani del fascio in- 

 variante. 



CAPITOLO V. 



Gruppi equivalenti a gì'U2)pi proiettivi 

 sopra varietà contenenti un fascio di quadricJie. 



13. — A pai'tire da questo momento ci conviene introdurre l'ipotesi (che non 

 risultava ancora necessaria nel cap. prec.) che il gruppo proposto sia non integrabile. 

 E possiamo introdurla, avendo già determinati nel cap. II tutti i tipi di gruppi inte- 

 gi'abili. 



Indichiamo con ^3 una varietà a tre dimensioni di uno spazio Sr contenente un 

 fascio di quadriche Q, e con G un gruppo (non integrabile) di trasformazioni proiet- 

 tive sopra questa varietà. — È importante per noi la considerazione del gruppo (pro- 

 iettivo) g subordinato da G sopra una Q generica. Dico che ogni qualvolta g non coin- 

 cida precisamente col gruppo proiettivo co^ che lascia fissa una conica {non degenere) della 

 quadrica Q, sempre il gruppo G è equivalente a uno dei gruppi cremoniani tipici di S3 

 da noi già incontrati (e possiamo quindi prescindere dall'occuparcene ulteriormente). 



Anzitutto, se il gruppo g si suppone integrabile, esso (0 eventualmente il mas- 

 simo suo sottogruppo continuo) dovrà lasciar fissa sulla quadrica Q almeno una ge- 

 neratrice di ciascun sistema, e quindi almeno un punto : perciò anche la rete oma- 



) Le trasformazioni coniche dello spazio C Rend. Acc. di Napoli ,, 1896). 

 Serie U. Tom. XLVIII. 



