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loidica delle sezioni piane della Q passanti per questo punto. Di qui si trae (ripetendo 

 il ragionamento del n" 10) che il gruppo G deve esssere equivalente a un gruppo 

 anche proiettivo sopra una varietà contenente una serie ooi di piani (cap. TV), purché 

 soltanto quella rete omaloidica possa staccarsi razionalmente dalle altre pure inva- 

 rianti eventualmente esistenti sulla stessa Q. E allo stesso n" 10 si è pure veduto 

 che questo deve esser possibile ogni qual volta il gruppo G sia non integrabile. 



Supponiamo ora che anche il gruppo e/ sia non integrabile. Risulta allora dal- 

 l'enumerazione di tutti i possibili gruppi proiettivi (non integrabili) sopra. una Q {^) (e 

 lo si vedrebbe anche direttamente) che g stesso contiene certo un sottogruppo inva- 

 riante Go3 il quale lascia fisse tutte le generatrici a di un determinato sistema sulla Q 

 — e opera perciò in modo oc' sopra queste generatrici — , a meno che esso non 

 coincida precisamente col gruppo oo» (continuo o misto) delle trasformazioni proiettive 

 che lasciano fissa sopra Q una certa conica (non degenere) q. 



Escludiamo pertanto quest'ultima ipotesi. Allora il gruppo G dovrà anch'esso 

 subordinare su ciascuna di quelle generatrici a (ossia su ciascuna generatrice di 

 almeno un determinato sistema sopra ogni Q) 03^ trasformazioni diverse. D' altra 

 parte il gruppo subordinato da G nella congruenza delle n è imprimitivo (poiché 

 nella congruenza stessa è invariante il sistema coi delle schiere rigate giacenti sulle 

 singole Q). Ciò basta per concludere (in base all'ultimo enunciato del n" 7) che la 

 congruenza delle a (è del 1° ordine (-), e) ammette un fascio di superficie unisecanti, 

 invariante rispetto a G. Questo gruppo potrà perciò ricondursi a uno dei tipi stu- 

 diati nel Cap. I (e precisamente nei n' 5 e 6). 



14. — Basterà dunque esaminare il caso in cui sopra ogni Q viene subordi- 

 nato da G il gruppo proiettivo cc^ con una conica fissa (q). 



Imposta come fissa una quadrica Q generica, occorrono al più due condizioni 

 per render fisse anche le rimanenti, e staccare cosi da G un sottogruppo invariante 

 intransitivo (GJ, il quale muti in se stessa ciascuna delle Q. — Questo gruppo Gj 

 dovrà subordinare su quella prima (e quindi sopra ogni) Q un sottogruppo invariante 

 del gruppo oo^ colla conica q fissa, e contenente al più due parametri di meno di 

 quest'ultimo (dunque almeno ooi). Tale sottogruppo dovrà dunque coincidere con quello 

 stesso gruppo 00^ (che è privo di sottogruppi invarianti di dimensione > 0); e perciò 

 concludiamo: Il gruppo G; se transitivo, contiene tuttavia un sottogruppo invariante 

 intratisitivo Gj, il quale muta in sé stessa ogni quadrica Q, subordinandovi ancora tutte 

 le oo3 trasformazioni che lasciano fissa la conica q. 



Dico ora che questo gruppo Gj è esso stesso un gruppo semplice oo^. Ciò sarebbe 

 evidente qualora le coniche q delle diverse quadriche Q fossero tutte coincidenti; 

 perchè, fissando tre e quindi tutti i punti di questa conica, si avrebbe l'identità su 

 ogni Q, e quindi su H3. Se invece le q non coincidono, ma hanno per luogo una 

 certa supei'ficie q?, il gruppo G^ subordinerà sopra questa superficie un gruppo pro- 



(') Cfr. ad ea. Lie, Theorie cler Transformationsgnippen, voi. HI, cap. 10". 



(^) E perciò i due sistemi di rette di ciascuna Q descrivono, al variare di questa Q, due con- 

 gruenze distinte (del 1° ordine). La congruenza cui sopra si accenna fe appunto una di queste due. 



