23 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 243 



iettivo, non integrabile e intransitivo ; il che basta per concludere che questo stesso 

 gruppo (subordinato sopra <p) è equivalente al gruppo proiettivo di una quadrica 

 sulla quale siano fisse tutte le generatrici di un determinato sistema. A questo si- 

 stema di generatrici corrisponderanno sopra cp le coniche j; all'altro sistema corri- 

 sponderà un fascio, pure invariante, di curve f unisecanti le q (e ciascuna delle quali 

 si ridurrebbe a un punto, se le q coincidessero). Con tre sole condizioni si potrà 

 dunque render fissa ogni curva f, e quindi anche ogni punto di (p e della varietà lUj. 



Ora, le generatrici delle coi quadri che Q potranno formare o due distinte con- 

 gruenze del 1° ordine, contenenti rispett. le due diverse schiere rigate delle singole Q, 

 oppure una congruenza unica (irriducibile) del 2° ordine. Nel primo caso, entro cia- 

 scuna delle due congruenze, quelle generatrici che si appoggiano a una medesima 

 curva f formeranno una rigata (R, R') la quale, al variare della f, descriverà un 

 fascio invariante rispetto a G. Ogni punto di jUg potrà perciò individuarsi come inter- 

 sezione (unica) di tre superficie Q, R, R' descriventi ciascuna un determinato fascio. 

 Ricadiamo così nel gruppo tipico già incontrato al n° 5. 



Se invece le generatrici delle Q formano una congruenza unica (irriducibile, del 

 2° ordine), le schiere rigate delle stesse Q formeranno un unico sistema coi (irridu- 

 cibile), entro il quale sarà invariante l'involuzione (quadratica, razionale) delle coppie 

 di schiere coniugate (contenute cioè in una stessa Q). Di qui si trae che, se il gruppo 

 G è transitivo (piìi ampio cioè di Gj), esso dovrà operare in modo soltanto ooi sul 

 detto sistema di schiere rigate, e quindi anche sul fascio delle Q; esso sarà perciò 

 un gruppo (precisamente) a>*. In questo caso il sistema coi jelle schiere rigate delle 

 Q sarà certo razionale, mentre invece se G è intransitivo (e perciò s G^) esso potrà 

 essere iperellittico di genere qualunque. 



Se G è transitivo e oo*, possiamo ridurlo molto facilmente a un gruppo proiet- 

 tivo di S3. Consideriamo perciò in S3 un fascio di quadriche Z mutuamente tangenti 

 lungo una conica (non degenere) s\ e riferiamo proiettivamente: 



1° Il fascio di curve f contenuto nella superficie qp dianzi considerata al si- 

 stema dei punti della conica s; 



2" Il sistema (razionale) oo* delle schiere rigate delle quadriche Q all'analogo 

 sistema sulle Z, in modo che si corrispondano le involuzioni delle coppie di schiere 

 coniugate. 



Componendo queste due proiettività, otteniamo una determinata corrispon- 

 denza birazionale fra le due congruenze di 2° ordine formate rispett. dalle ge- 

 neratrici delle Q e delle Z. Infatti ogni retta della prima (seconda) congruenza ap- 

 partiene a una determinata schiera rigata di una Q (di una Z), e si appoggia a una 

 determinata f (passa per un determinato punto di s). — E poiché a ogni coppia di 

 rette della prima congruenza incontrantisi in un punto generico di Hj (e contenute 

 perciò in schiere diverse di una stessa Q) corrisponde una coppia di rette della se- 

 conda congruenza (contenute in schiere diverse di una stessa Z, e perciò) incontran- 

 tisi in un punto pure generico di S3, avremo così rappresentata birazionalmente la 

 varietà 1LI3 sopra S3. — Dalla legge di generazione del gruppo G, la cui operazione 

 generica può ottenersi componendo una proiettività arbitraria nel fascio delle f 

 sopra cp e una proiettività opportuna nel sistema coi ^q\\q schiere rigate delle Q 

 (e precisamente una delle 00 1 proiettività che mutano schiere coniugate in schiere 



