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coniugate), segue immediatamente la legge di generazione del gruppo corrispondente 

 in Ss; e quest'ultimo gruppo viene precisamente a coincidere col gruppo proiet- 

 tivo 00* che trasforma in se il fascio delle quadriche Z (ossia la conica base di 

 questo fascio, e il polo comune del piano di essa rispetto a tutte le Z). 

 Rappresentato il fascio delle quadriche Z coli 'equazione: 



X^ — X2Xj^ — KXi 



questo gruppo tipico oo* sarebbe a sua volta rappresentato dalle equazioni seguenti : 



I 



X i — Xi 



x'2 = a^aJo + 2abx3 -f f>'^i 



x'3 = acx2 -\- (ad -j- bc)x3 + bdxi 



.r'4 = c^xo -\- 2cdxi -\- d^x^ 



coi parametri a, b, e, d tutti indipendenti. Questo gruppo trasforma in se la stella 

 di rette avente per centro il punto (a-j =4= 0, Xo = x^ = .r^ = 0), e può quindi consi- 

 derarsi come (equivalente a) un gruppo proiettivo sopra un cono di 1" specie (di 

 ordine 1). Esso rientra precisamente come sottogruppo nel 1° tipo del n" 9 (per n = 1). 

 Se G è intransitivo, ma il sistema 00 1 delle schiere rigate delle Q è ancora ra- 

 zionale, potrà G stesso ridursi al sottogruppo invai-iante oo^ del gruppo tipico pre- 

 cedente (ottenibile col porre ad — bc ^^ 1). Se invece questo sistema non è razionale, 

 occorre un'altra rappresentazione spaziale della varietà Hj, la quale potrà tuttavia 

 applicarsi anche al caso precedente. 



15. — Se il gruppo G è intransitivo, le coniche 3 e i loro piani saranno tutti 

 invarianti rispetto ad esso ; e la varietà 1^3 si proietterà perciò da uno qualunque di 

 questi piani (supposti non coincidenti) in una varietà analoga, sulla quale a G corri- 

 sponderà ancora un gruppo proietttivo. Questa proiezione sarà certo univoca (essendo 

 tale per l'intera varietà normale M^ luogo degli spazi S3 delle quadriche Q). e si potrà 

 ripetere finche i piani delle q non vengano tutti a coincidere {^) ; sicché noi possiamo 

 supporre addirittura che sopra IU3 questi piani (e queste coniche) coincidano , e gli 

 spazi Sg delle Q formino perciò un cono (razionale, normale) di Z^ specie. — Av- 

 vertiamo ancora che il piano dell'unica conica q si può supporre non contenuto in ^3 

 — in altri termini, si può supporre che nessuna Q si riduca a questo piano contato 

 due volte — potendo il sistema lineare invariante (Z) costruito al n° 10 esser scelto 

 in modo da segare sopra ogni piano tt (senza eccezioni) un sistema lineare com- 

 pleto oo3 (anziché soltanto oo^) equivalente a un sistema di coniche. 



L'ordine della varietà Ha sarà quindi doppio di quello del cono di .3* specie for- 



(') Ciascuna di queste proiezioni riduce di un'unità l'ordine delle curve f considerate al n° prec' , 

 dopo che queste si saranno ridotte a rette, un'ultima proiezione farà coincidere i piani di tutte le q, 

 e anzi queste stesse coniche. 



