25 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 



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mato dagli spazi S3 delle quadriche Q, e poniamo sia = 2(« — 1). La varietà stessa 

 apparterrà allora a uno spazio S„^i ; e possiamo supporrò « > 2, se no si ricadrebbe 

 nel gruppo proiettivo del n" prec). 



Per rappresentare questa varietà ^3 sullo spazio S3 possiamo anzitutto proiet- 

 tarla da un punto qualunque P della (unica) conica q in un cono razionale normale, 

 a tre dimensioni, di seconda specie, di ordine « — 1, i cui piani saranno rispett. im- 

 magini delle quadriche Q; e poi proietteremo ancora questo cono, come già al n° 12, 

 da H — 2 suoi punti, tracce ad es. di altrettante generatrici del cono y-''-'' formato 

 da quelle rette (di ambo i sistemi) delle quadriche Q che escono dal punto P. Alle 

 quadriche Q corrisponderanno cosi in S3 i piani passanti per una certa retta r; e alle 

 sezioni iperpiane di Ma corrisponderanno superficie F di ordine 2{n — l) — {n — 2) = n, 

 aventi la retta /• come (« — 2)p'% e n — 2 piani tangenti fissi lungo questa retta. 

 Queste stesse superficie conterranno ancora la curva (piana) qp" immagine del cono 

 T^'"~" (la quale avrà un punto (n — 2)p'°, con tangenti ben determinate , nell' inter- 

 sezione del proprio piano colla retta r). In particolare alle sezioni iperpiane di 1^3 

 passanti per il punto P corrisponderanno superficie di ordine n contenenti come parte 

 fissa il piano della curva tp"; e astraendo da questo piano rimarrà un cono di ordine 

 n — 1, variabile entro un sistema lineare cc"+' identico a quello considerato al n" 12 ('). 



L'analisi fatta in questo cap. V ci conduce dunque a aggiungere ai casi già 

 noti un solo gruppo tipico: il gruppo oo-' intransitivo delle trasformazioni di un certo 

 ordine n, che mutano in sé tutti i piani di un certo fascio, e un sistema lineare co"+- 

 di superficie di ordine n, aventi la retta asse di questo fascio come multipla di ordine 

 n — 2, pili n — 2 piani tangenti fissi lungo questa retta, e passanti ancora per una data 

 curva ])ìana di ordine n. 



La congruenza (unica) delle generatrici delle Q viene cosi rappresentata dalla 

 congruenza del 2° ordine delle rette che si appoggiano alla r e alla curva cp" (la quale 

 ultima ha sopra r un punto (w — 2)p'°); alle schiere rigate delle Q corrispondono i 

 fasci di rette contenuti in questa congruenza , e i centri di questi fasci hanno per 

 luogo la curva iperellittica cp". 



Ogni operazione del nostro gruppo tipico continuo 00 ^ lascia fisso ciascuno di 

 questi fasci di rette. Per costruire quindi la piìi generale di queste operazioni basta 

 assegnare ad arbitrio una proiettività sulla retta r, e comporre, in ciascuno dei 

 piani passanti per questa retta, le proiettività che risultano determinate per proie- 

 zione entro ciascuno dei due fasci di rette della congruenza contenuti nel piano stesso. 



Assumendo r come retta a^i = a^j = 0, e supponendo la curva tp" contenuta nel 

 piano X3 = e ivi rappresentata dall'equazione 



dove le f contengono le sole coordinate x^, x^, si vede facilmente che il sistema 

 lineare oo"^- delle superficie F si potrà rappresentare coll'equazione : 



Xzii'^OOi + <^Xi\fn-t + (P.,-l) = -^I/"»-! + Xifn-'. + /n (1) 



(') Per n = 2 la varietà |Ì3 è una quadrica di S,, la quale viene semphceménte proiettata sopra 

 Sj da un suo punto P. 



