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nella quale sono parametri variabili (non omogenei) a, p, e gli « coefficienti della 

 forma (p„_i (a;, Xj), mentre invece sono costanti i coefficienti di tutte le f. 



Per trovare le equazioni del gruppo ce», possiamo osservare che deve essere 

 trasformato in se stesso il sistema xi (d'indice due) dei coni che dai vari punti di 

 )• proiettano la curva cp". L'equazione di questo sistema oci di coni è la seguente: 



{x, + lcx,r-U, + (.T4 + hx,)n^, + /"n = (1) 



ovvero : 



kK XIU_, -f- hx, {2x,f„_, + /■„_,) + (Xìfn-, + -^4^-1 + fn) = (1') 



Il nostro gruppo x^ subordinerà in questo sistema cci tutte le possibili cc^ trasfor- 

 mazioni proiettive, le quali si rappresenteranno analiticamente mediante sostituzioni 

 lineari del parametro k. Alle singole superficie del sistema (1) o (!') corrisponde- 

 ranno pertanto, in una qualunque operazione del gruppo, le superficie: 



ottenute rispett. per gli stessi valori di k, e per valori delle a, h, e, d variabili da 

 un'operazione all'altra e che possiamo supporre legati dalla relazione ad — bc^l. 

 Se dunque le equazioni (1) e (2) — quest' ultima moltiplicata per {ck -\- d)- — si 

 mettono rispett. sotto la forma: 



ifc2F + 2/kF' + F" = 

 F(t) + 2A-ct)' + 0" = O 



dovranno queste, come equazioni di secondo grado in k, dare per k gli stessi valori 

 ogni qual volta in esse si sostuiscano rispett. le coordinate di due punti omologhi 

 in una data operazione (definita dai valori particolari delle «, &, e, d) ; e dovrà 

 perciò essere, per ogni operazione del gruppo: 



JL — il — 1!. 

 <j> (j)' O'' ■ 



Introducendo pertanto in luogo di F e F', e 0' le loro espressioni rispett. date 

 dalla (1') e ricavabili dalla (2), dando gli apici alle coordinate in F e F', e divi- 

 dendo queste due funzioni per .«'a /"„_, e le 0, O' per .r 3 /"„_,, avremo, a meno even- 

 tualmente di uno stesso fattore: 



x\ = -4 — [(«a^s + cx^^fn-i + c{axi + cx^f,,.-, + e-/;] 



[ 



^*+ 2./-„-2_ 



XtU-i 



{aXi + «4) [bxi -t- dXi)f„_. 



-\-^]c{bx3-\- dXi) -f d (axs + cx^) ifn-i + cdf„j 



dove il fattore omesso — sostituendo nell'equazione del sistema lineare invariante 

 — si trova essere eguale all'unità, qualora si assuma x\ = Xi , x'2 = ^2- 



