27 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 247 



Con qualche trasformazione, e valendosi della relazione ad — bc^ 1, si ha pure: 



^, (a j:,i + cxj)^ fn-! + cjaxi + cXj) fn-i-\-c^U 



X 3 



Xsfn-! 



' (aX3-{-CXi){bX3-]-dXi)fn-z-\-c{bX3-rdXi)fn-l-{-Cdfn 



X i — — . 



X3jn-2 



Ponendo in queste equazioni x^ = x-i = 0, si ha il gruppo subordinato sulla retta r, 

 che è appunto il gruppo proiettivo totale: 



x's ax3 + cxi. 



^ i bx3 + dXf 



Per f ^ si ha un sottogruppo oo^, composto delle omologie aventi % = come 

 piano di punti uniti e il centro variabile sulla retta x^ == ajg = . 



CAPITOLO VI. 



Gh'uppi equivalenti a yrìippi proiettivi 

 sopra varietà contenenti un fascio di coni ragionali. 



16. — Indicheremo con \ij una varietà razionale a tre dimensioni di uno spazio S,, 

 la quale si componga di un fascio di coni razionali normali (f) di un certo ordine n. 

 Indicheremo altresì con a una qualunque delle (x- rette generatrici dei coni T", e 

 con G un gruppo di trasformazioni proiettive sulla varietà ^3. Dobbiamo determi- 

 nare tutti i possibili tipi (birazionalmente distinti) di questi gruppi G, coi tipi di 

 gruppi cremoniani di S3 ad essi rispett. equivalenti (in cui cioè essi si trasformano 

 mediante rappresentazioni spaziali della varietà M3). A tal uopo, ci sarà utile sta- 

 bilire fin d'ora la proposizione seguente: 



Se i coni (razionali normali) f" appartengono allo spazio complessivo S,. (se si ha 

 cioè r = n + 1), il gruppo G è certo integrabile (e quindi riducibile a un gruppo cre- 

 moniano di categorie già note — cfr. n° 9 — ; sicché di questo caso potremo non 

 occuparci ulteriormente). 



Infatti, se G fosse un gruppo non integrabile, esso conterrebbe (almeno) un 

 sottogruppo semplice oo^, e quest'ultimo conterrebbe a sua volta (almeno) un sot- 

 togruppo 00-' trasformante in sé un dato cono f" (arbitrario). Ora, dall' esame dei 

 vari gruppi proiettivi semplici oo^ dello spazio S^ = S„+i ('), risulta facilmente che, 

 fra questi gruppi, i soli che contengano un sottogruppo oo^ trasformante in sé stesso 

 un cono razionale normale f" sono il gruppo proiettivo di una C"'"', e il gruppo 

 semplice oo^ con un punto fisso e una C" pure fissa e contenuta in un iperpiano non 



{) Cfr. la mia Memoria: Sulle varietà algebriche con un gruppo continuo non integrabile di tra»- 

 formazioni proiettive in si (' Mem. Acc. di Torino ,, Ser. 2", t. 46; 1896). 



