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Ijassante per quel punto. D'altra parte, in questo secondo caso l'unico cono f" in- 

 variante per un qualsiasi sottogruppo cc^ è pure invariante per l'intero gruppo oo»; 

 e, nel primo caso, il cono f" invariante per un dato sottogruppo ce- varia con 

 questo sottogruppo, ma non descrive un fascio, bensì una serie d'indice due, sulla 

 varietà delle corde della 0"+'. Concludiamo pertanto che nessun gruppo semplice co* 

 di S„^.i può trasformare in se una serie ooi di coni f" quale a noi occorre; sicché, 

 se la varietà ^3 si compone di coni T" appartenenti allo stesso suo spazio, il gruppo G 

 non potrà contenere nessun sottogruppo semplice co*, e sarà perciò appunto un 

 gruppo integrabile. 



17. — Supposto pertanto che il gruppo G sia non integrabile, i coni f" do- 

 vranno stare in spazi minori (S„^i) contenuti in Sr, e potremo considerare, entro 

 quest'ultimo spazio, la varietà M„+2 luogo di tali S„4-i; varietà che sarà anche nor- 

 male, se lo è la varietà lUg. (Per r = n -\- 2, questa M„_,.2 sarebbe lo stesso S, con- 

 siderato come luogo di un fascio di iperpiani). 



Il gruppo G trasformerà in se anche questa M„-, , e opererà proiettivamente su 

 di essa. Ora, dalle proprietà delle direttrici minime delle varietà composte di serie 

 semplici razionali di spazi si trae facilmente (con un ragionamento analogo a quello 

 del n" 11) che ogni gruppo proiettivo sopra una tale M„+2 è equivalente a im gruppo 

 anche proiettivo sopra un'analoga M^a.., la quale 

 contiene co"+' direttrici rettilinee; 



oppure è un cono (si compone cioè di spazi S„^i aventi un certo S^ a comune, 

 dove 0<h<n). 



Alla varietà Ms proposta potremo dunque sostituire quella che così viene a cor- 

 risponderle sulla nuova M„+2 (la quale conterrà pure un fascio di coni f"); in altri 

 termini, potremo supporre che gli spazi S,,^., dei coni T" formino già una M„l5 sod- 

 disfacente a una delle due condizioni accennate. 



La prima ipotesi comprende il caso che ci si è già presentato al n° 6; la va- 

 rietà 1X3 è allora luogo di co^ direttrici della M„4.2, le quali punteggiano proiettiva- 

 mente i coni f". — Escluso questo caso, gli co-' punti di iHg dovranno distribuirsi 

 sopra un egual numero ( oo*) di direttrici ; e in questo sistema 00^ di rette verrà sub- 

 ordinato un gruppo oloedricamente isomorfo a 6 stesso (in senso gruppale). D'altra 

 parte questo sistema co* di direttrici può considerarsi come una varietà analoga a Hj 

 entro lo spazio I„.,.i di tutte le direttrici rettilinee della M„4.2; e precisamente come 

 una varietà ^3 i cui coni (analoghi ai) f" appartengono allo spazio complessivo Z„+i. 

 Da ciò si trae che il gruppo subordinato nello stesso sistema oo* di direttrici, e 

 quindi anche G, è integrabile. 



Concludiamo perciò: Se il gruppo G non è integrabile, potremo supporre che i 

 coni P" appartengano a spazi minori S„+i formanti un cono (di dimensione n -f- 2), e 

 aventi perciò uno spazio S^ a comune {0<h< n). 



18. — Il gruppo G, essendo non integrabile, dovrà subordinare nella congruenza 

 delle rette a un gruppo di trasformazioni anche non integrabile (*), ed equivalente 



(') Se no dovrebbe esservi un sottogruppo non integrabile per il quale risultino fisse tutte le 

 rette a; il che non è possibile. 



