29 I GRUPPI DI JONQUJÈRES GENERALIZZATI 249 



a un gruppo proiettivo sopra una quadrica o sopra un cono di un certo ordine ^ > 1 . 

 Nel primo caso esso, quindi anche ogni suo sottogruppo, trasformerà in sé, oltre al 

 fascio dei coni f", anche un secondo fascio di rigate appartenenti alla congruenza 

 delle a. Ciò avverrà in particolare per ogni sottogruppo semplice oo* (G') contenuto 

 in G; e ogni gruppo siffatto dovrà operare in modo x^ sopra uno almeno di questi 

 due fasci invarianti. Si può anzi supporre che vi sia un gruppo G' il quale operi in 

 modo cc3 sul secondo fascio, e quindi in modo almeno x- sulla serie delle genera- 

 trici di ciascun cono f"; perchè in caso contrario basterebbe suppoi-re scambiati i 

 due fasci, ossia ridotto il secondo a un fascio di coni f"' o di quadriche (cap. V) 

 — indipendentemente dal fatto se ai coni T" continuerebbero o no a corrispondere 

 dei coni sulla nuova varietà — . 



Invece se G opera sulla congruenza delle a come un gruppo proiettivo sopra 

 un cono A*", ogni suo sottogruppo semplice o-J opererà in modo anche oc^ sul fascio 

 dei coni f", e subordinerà un gruppo x^ non parabolico nella serie delle genera- 

 trici di ciascuno di questi coni: di più, questo sottogruppo non trasformerà in sé 

 nessun altro fascio di rigate appai'tenente alla detta congruenza. 



Questi due casi ci condurranno rispett. a due nuovi gruppi cremoniani tipici 

 (cfr. n' 19-20 e 22-26). 



19. — Cominciamo col supporre che G operi sulla congruenza delle a come un 

 gruppo proiettivo sopra una quadrica (di S3). Indicando allora con G' un suo sotto- 

 gruppo semplice oo^, potremo ritenere che quest'ultimo gruppo operi in modo al- 

 meno co2 sul sistema delle generatrici di ciascun cono P; e, per maggior chiarezza, 

 distinguiamo il caso in cui esso opera su questo sistema in modo x^ dal caso in 

 cui vi opera in modo soltanto a)^. 



Nella prima ipotesi ciascun cono T" sarà già invariante per l'intero gruppo ( c»3)G'; 

 e, entro rS„+i cui esso appartiene, saranno fissi il punto vertice del cono stesso e 

 un S„ non passante per questo punto (e non altri spazi minori). Lo spazio S^ che 

 supponiamo comune agli S„+i dei vari coni T" (cfr. n" 17) sarà pertanto un punto 

 un S„; anzi precisamente un S„, se escludiamo (perchè già trattato al w° 9) il caso 

 di cui gli 00 1 coni P" abbiano tutti lo stesso vertice, e Hj sia perciò anche un cono. 

 Questo spazio fisso S^ = S„ dovrà evidentemente incontrare i vari coni T" secondo 

 una stessa curva C" (razionale, normale) — perchè un gruppo proiettivo x^ entro 

 di esso non può trasformare in se coi di queste curve — ; e la varietà jis sarà perciò 

 luogo delle oo^ rette che si appoggiano a due curve razionali fisse : la C", e la curva t 

 luogo dei vertici dei coni f". Osserviamo inoltre che la C" è normale e sta in un S„ 

 non incontrante lo spazio cui appartiene r (se no il gruppo G' non potrebbe operare 

 su di essa in modo co^) ; di qui si trae che, se fij è normale (e tale possiamo sup- 

 porla), sarà normale anche la curva t (se no non sarebbe completo il sistema lineare 

 di coni segato su ^3 dagli iperpiani passanti per C"). 



Dico ora che la varietà IU3 è di questo stesso tipo anche se il gruppo G' opera 

 in modo soltanto co^ sul sistema delle generatrici di ciascun cono f" (e quindi in 

 modo 00^ sul fascio dei coni stessi). Osserviamo intanto che le cx^ operazioni di G' 

 che mutano in se un dato cono P" ne lasceranno fissa una generatrice, con tutti gli 

 spazi osculatori al cono lungo di essa — i quali si apparterranno a due a due — ; 

 Sehie U. Tom. XLVIII. e' 



