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ma non lasceranno fissi (nel relativo S„+i) altri spazi minori passanti pel vertice del 

 cono. Ora il gruppo G', oltre allo spazio S^ comune agli S„+i dei coni f", dovrà la- 

 sciar fisso un S,._,,_i non incidente a questo S/, (') e incontrante i detti S„+i secondo 

 spazi S„-j,; e anzi , se la curva t luogo dei vertici dei coni F" non è contenuta in 

 quello spazio S;, (e appartiene perciò a uno spazio non incontrante affatto l'S^ me- 

 desimo) dovrà risultar fisso un S,._ft_i passante per tale curva (t). Di qui si trae che 

 il gruppo CD- subordinato da G' neirS„+i di un cono f" vi lascerà fissi due spazi 

 minori indipendenti, un S^ e un S„_j, uno dei quali passerà per il vertice del cono 

 stesso; sarà dunque fisso anche lo spazio che da questo vertice proietta l'altro di 

 quei due (supposto di dimensione < w) ; con che risulterebbero fissi in S„^i due spazi 

 (di dimensione > 0) uscenti dal vertice del cono f" e aventi questo solo vertice a 

 comune. Ma abbiamo visto poc'anzi che ciò, nelle ipotesi fatte, non può avvenire; 

 dovranno dunque le due dimensioni h e n — h essere eguali l'una a zero (corrispon- 

 dentemente a uno spazio che si ridurrà al vertice del cono), l'altra a n; e anzi, se 

 la varietà fig non è un cono, sarà ancora, come nel caso precedente, h =: n; ossia 

 gli S„+i dei coni P avranno a comune uno spazio S„, che dovrà pure incontrare i 

 coni stessi secondo una medesima curva C". 



La varietà |ì:j è dunque, in qualsiasi caso non riducibile ai precedenti, la varietà 

 luogo delle co- rette che si appoggiano a due curve razionali normali C", C" poste in 

 spazi indipendenti entro un S„,+„4_i. Vediamo ora quale sia il massimo gruppo con- 

 tinuo di trasformazioni proiettive su di essa, e qual gruppo cremoniano corrisponda 

 al detto gruppo proiettivo in un' opportuna rappresentazione spaziale della varietà 

 medesima. 



20. — La varietà M3 definita al n" prec. è di ordine mn, e negli co' punti di 

 una qualunque delle sue rette (a) essa ammette uno stesso S3 tangente: lo spazio 

 determinato dai piani tangenti ai coni f" e T" in essa contenuti e passanti per la 

 retta considerata. 



Il gruppo G di tutte le trasformazioni proiettive di questa varietà in se stessa è 

 evidentemente 00'; queste trasformazioni mutano infatti in se stessa ciascuna delle 

 due direttrici C" e C"; e dopo aver imposti come fissi tutti i punti di queste diret- 

 trici, per il che occorrono 3 + 3 ^ 6 coudizioni, rimane ancora (soltanto) un gruppo 00' 

 di omografie rigate. 



Per rappresentare questa varietà sullo spazio S3 possiamo proiettarla dallo 

 spazio Z„^„_3 determinato da m — 1 punti (Ai ... A„,_i) della direttrice C'" e da « — 1 

 punti (Bi ... B„_,) della C". Queste direttrici si proietteranno allora secondo due rette 

 sghembe u, v, e la congruenza delle a secondo la congruenza lineare che ha queste 

 due rette per direttrici: la proiezione di Hj sarà dunque univoca. 



Poiché la varietà ^3 è incontrata dallo spazio Z„,4.„_3 secondo le {m — 1) (» — 1) 

 rette A^ B^ (ma non ulteriormente), così le sue sezioni iperpiane si proietteranno in 

 superficie F di ordine : 



mn — (m — 1) (« — l) = m -{-n — 1. 



(') Cfr. la mia Memoria cit., Sulle varietà algebriche, ecc., § 2. 



