31 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 251 



Queste superficie conterranno le rette u, v come multiple di ordini rispett. 

 n — 1, m — 1, poiché ad es. ogni punto di u è immagine del gruppo delle «—1 

 rette « che cougiungono un determinato punto della direttrice C" ai vari punti B^. 

 Di più, gli spazi Sj tangenti a Hj lungo le ooi rette a uscenti da uno stesso 

 punto Bk (o A,) si proiettano tutti secondo un medesimo piano passante per u (o v), il 

 quale risulterà perciò tangente a tutte le F lungo quest'intera retta. Questi n — 1 

 (rispett. m — 1) piani saranno quelli che da u (o v) proiettano gli n — 1 (rispett. m — 1) 

 punti di v (o u) che corrispondono ai punti B^ di C" (o A, di C'"). Infine, le (m — 1) {n — 1) 

 rette intersezioni di questi due gruppi di piani dovranno ancora appartenere a tutte 

 le F, avendo già con esse n intersezioni coincidenti sopra u e m sopra v. 



Il sistema lineare rappresentativo della varietà Ma si compone dunque delle superficie 

 di ordine m-\-n — 1 aventi due rette sghembe come multiple di ordini rispett. m — 1 e 

 n — 1, e tangenti lungo queste rette agli stessi m — 1 o rispett. n — 1 piani fìssi. — 

 Queste superficie contengono in conseguenza le {m — l){n — 1) rette intersezioni di 

 questi due gruppi di piani tangenti. 



Il sistema lineare delle superficie F (che è di dimensione m-\-n-\-l , e di grado 

 mn) risulta già completamente individuato dalle condizioni teste enunciate (come si 

 può anche verificare direttamente). 



Troviamo pertanto come nuovo gruppo tipico completo (corrispondente al 1° caso 

 del 11° 18) il gruppo co" delle trasformazioni cremoniane di un certo ordine m-\-n — 1, 

 che mutano in sé stesso il sistema lineare {di dimensione m-fw-j-l; ^ grado mn) delle 

 superficie di ordine m.-{-n — 1 che hanno due date rette sghembe come multiple di or- 

 dini rispett. m — 1 e n — 1, e ammettono lungo queste rettegli stessi m — 1 o rispett. 

 n — 1 piani tangenti fissi. 



In questo gruppo tipico alla stella di rette che dovrebbe risultare invariante 

 è sostituita la congruenza lineare avente per direttrici le due rette {u, v) con- 

 siderate. •» 



Assumendo queste due direttrici u, v rispett. come rette x^^^Xi^^Q e x^^x^^O 

 del sistema di coordinate, e indicando con f^-iix^Xij^O e fm-ii^i^ì)^^ le equa- 

 zioni complessive dei piani tangenti comuni alle superficie F lungo le rette stesse, 

 l'equazione del sistema lineare oo "'+"+' delle F sarebbe la seguente: 



fm-l{XlX2).q)n{XìXi) + f„-l{X3Xi)(Pm(XlX2^ = (1) 



la quale contiene m-\-n-{-2 parametri omogenei, dati dagli (« + !) + ('«4-1) coeffi- 

 cienti delle due forme binarie «p,, e q>„. 



Per costruire l'operazione più generale del gruppo possiamo anzitutto assegnare 

 ad arbitrio una proiettività nella congruenza lineare di direttrici u, v (^) (il che im- 

 plica 6 condizioni). Allora di ogni gruppo di piani qp,, (0:3X4)^0 9,,, (a;ia;2) = pas- 

 santi per l'una per l'altra di queste direttrici sarà determinato il gruppo di piani 

 corrispondente <p„'=:0, qj^'^O; e al fascio di superficie F 



dovrà corrispondere il fascio: 



/m-l«P'n+ ù/n-l<P'm =0. 



(') Ossia una trasformazione la quale muti, entro la congruenza, fasci di rette in fasci di rette, 

 e precisamente fasci col centro sopra « o d in fasci aventi anche il centro rispett. sopra «or. 



