252 GINO FANO 32 



Assegnando ancora, tra due fasci qualunque di questo tipo, una qualsiasi delle ooi 

 proietti vita X = cost. \i, verremo a individuare nel modo piìi generale un'operazione 

 del nostro gruppo ce' (risultante dalla composizione di questa proiettività con quella 

 assegnata nella congruenza di rette invariante). 



Risulta pure da quanto si è detto che le equazioni di questo gruppo co" do- 

 vranno essere del tipo : • 



x\ = l (ax^ 4- èa:o) «/'a = 1 (aa-'s + P^t) 



x\_ — E{cXi + dx,^) x\ = r\{^Xi -\- òx^) 



essendo E, r\ certe funzioni delle quali rimane a determinare il rapporto. Per deter- 

 minarlo , sostituiamo queste espressioni nell' equazione del sistema lineare inva- 

 riante (1); si ha allora (dividendo per E"'~' r)"-') : 



n .f,„_iiax^ + bx., cxi + dx2)(p\iX3X^) + E . f ,,^1(0X3 + P-r^, T^a + bx^)cp'„(xjX.i) = 



dove (p'„ e cp',„ sono nuovi polinomi analoghi rispett. a cp,, e cp„. Perchè quest'e- 

 quazione coincida colla (1) è necessario e sufficiente che sia: 



n ■ fm-i (axj -\- bxj , ex, 4- dxj) i.f„-i (ora -f Pa:, , yx, -f bxj) 



fm-l{XiXs) f„-l{X:,X,) 



Si possono perciò prendere per E, r| i valori che rendono queste frazioni eguali all'u- 

 nità; e avremo allora le equazioni: 



^r fn-l(xsXi,) 



X 1 — 



1- r„-,(ax3 + 0^:,TX3 + &^ ^"^''' + *^'^' ^''^ ~ f.,-,{axXCX + dx,) ("^^ + ^^'^^ 

 ■^ fn-l{aX3 + ?Xl,,-{Xi+ÒXi) ^ 1 ' -•' * fm-i(ax,-ì-hx2,cx,+ dxs) 



essendo a, h, e, d, a, 6, t, ^ otto parametri, tali che risultano parametri omogenei le 

 potenze >«='"' dei primi quattro e le potenze «"'"'^ dei rimanenti. 



In coordinate cartesiane (non omogenee) x^ —^. y = — , z=^-^ , facendo co- 



incidere gli m — l piani /"„,_, (.ri.r2)=0 col piano x^O e gli n— 1 piani /■„_[ (.r3.r4)=0 

 col piano all'infinito, il sistema lineare invariante sarà rappresentato dall'equazione: 



cp„(a;?/)+a"'"-'(p„(2) = 



dove cp„ è polinomio omogeneo di grado m nelle x, y. E le equazioni del nostro 

 gruppo 00' diventano allora: 



, _ (ax + fty)" , _ (fl.r + %)'"-'(cx + dy) _ , _ a^ + P 



21. — Gruppi 00', semplici, transitivi del tipo ciclico. Se sulla varietà 1U3 del 

 n" prec. noi ci limitiamo a considerare quelle trasformazioni proiettive che mutano 

 in se una proiettività €1 assegnata ad arbitrio, fra le direttrici C' e C", e quindi la 



