33 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 253 



rigata di ordine m -f- n che ne risulta generata, veniamo a staccare dal gruppo com- 

 plessivo oo'' un sottogruppo oo*, contenente a sua volta (come sottogruppo inva- 

 riante) un gruppo semplice oo^, ti'ansitivo rispetto a 1I3. 



Questo gruppo co^ appartiene certamente al caso ciclico (EF, § 21), il solo nel 

 quale possa risultare invariante qualche fascio di superficie. È interessante determi- 

 nare di qual ordine sia il gruppo finito formato da quelle operazioni di esso che 

 lasciano fisso un punto generico di 1^3. 



Un tal punto (/enerico P appartiene ad una retta a eongiungente due punti A, B' 

 delle curve C" e C", i quali non dovranno corrispondersi nella proiettività ^. Imposto 

 come fisso P, risulteranno pure fissi A e B' coi loro corrispondenti A' e B (rispett. su 

 C" e C"); e sarà anche fisso ogni punto della retta APB'. 



Ora, il sottogruppo od' per il quale sono punti uniti fissi A,B,A',B' (e non an- 

 cora P) può rappresentarsi con equazioni del tipo: 



5/ — (l Hq 00 i — ■ CI (tXi • • . oc jji — et 3/jiji 



!/'o = a"yo y\ — a"~'din . . . y\ = d''y„ 



dove a, d sono parametri legati dalla relazione ad = 1, e A,B,A',B' sono i punti 

 fondamentali per cui sono diverse da zero rispett. le coordinate x^, x„,yo,i/n (^)- — 

 Possiamo quindi anche sci'ivere: 



Perchè dunque sia unito il punto P, e con esso ogni punto della retta AB', è ne- 

 cessario e sufficiente che sia: 



ossia 



„».+n ^ i 



vale a dire a deve essere una radice (m -\- ?()^™* dell'unità. — Resta ora a vedere se 

 queste ìn-\-n radici dell'unità diano luogo, meno, ad operazioni tutte distinte; 

 se cioè sia non sia possibile di avere l'identità su Hs anche per «=t=l. E evidente (e 

 fu anche osservato in EF, § 18) che ciò può avvenire soltanto quando sia a'"=a"'~^ = ..., 

 vale a dire «- = 1, e quindi « =: ± 1; ma, corrispondentemente al valore o ^ — 1, 

 si ha la trasformazione identica solo quando m -\- 11 e numero pari (ossia m, n sono 

 entrambi pari, entrambi dispari). Invece se in -\- n è dispari, per «= — 1 si ha 

 un'omografia rigata involutoria. 



Avremo dunque un gruppo ciclico di ordine - — x — se ni -\- n è numero pari; e 



di ordine m -j- n se questo stesso numero è dispari. 



In quest'ultimo caso, e allora soltanto, il gruppo oo^ considerato è di seconda 

 specie (EF, § 18) — contiene cioè un sottogruppo finito invariante d'ordine 2, otte- 

 nuto appunto per a=±l — ; e vediamo così confermato che le operazioni che la- 



(') Cfr. la mia Memoria cit.: Sulle varietà algebriche ecc., § 3 (' Mem. Acc. di Torino , , 1896). 



