254 GINO FANO 34 



sciano fisso un punto generico formano in questo caso un gruppo ciclico di ordine 

 semT^re dispari (EF, § 19). Possiamo perciò completare il risultato già ottenuto dicendo: 

 Se ni -f- n è numero dispari, abbiamo un gruppo cc^ di seconda specie, corrispon- 

 dente al caso ciclico di ordine [dispari) m -\- ti. Se m -\- n è numero pari, abbiamo un 



gruppo di 2^>'i*na specie corrispondente al caso ciclico di ordine [pari o dispari) " " . 



Abbiamo cos'i esempi di tutti i casi possibili (esclusi soltanto i gruppi di 2-^ 

 specie di ordine 1, che sappiamo già ridursi a gruppi conformi). 



D'altra parte due gruppi cremoniani co^ della stessa specie e appartenenti al 

 caso ciclico di uno stesso ordine sono sempre fra loro equivalenti. Noi possiamo 

 infatti riferirli biunivocamente in modo che si corrispondano entro di essi i gruppi 

 finiti che lasciano fissi rispett. due punti generici P, P' : allora, assumendo come 

 omologhi in S3 due punti qualunque i quali nascano da P,P' mediante operazioni 

 corrispondenti dei gruppi ( co^) medesimi, verremo a definire in S3 una trasforma- 

 zione birazionale che muterà questi due gruppi l'uno nell'altro. 



Diremo quindi: 



I gruppi 00^ di prima specie appartenenti al caso ciclico di ordine h sono ridu- 

 cibili hirazionalmente a gruppi di trasformazioni di ordine 2h — 1 (in particolare, per 

 7i^l, a gruppi proiettivi). 



I gruppi co3 di seconda specie appartenenti al caso ciclico di ordine dispari 

 2J-J-1 (i— 1) sono riducibili birazionalmente a gruppi di trasformazioni di ordine 2i. 



Questi gruppi od^ tipici lasciano tutti invariata una congruenza lineare di rette, 

 e risultano completamente definiti dalle cose dette al n" prec. Le loro equazioni 

 possono ottenersi da quelle scritte alla fine del n" prec. identificando i parametri 

 a, p, T, b rispett. con a, b, e, d, e ponendo fra questi la relazione ad — bc^l. 



23. — Supponiamo ora che il gruppo CI operi sulla congruenza delle « (cfr. 



n" 18) come un gruppo proiettivo sopra un cono A''. Conviene distinguere due casi: 



1° Lo spazio S/. comune agli S^+i dei coni V" (cfr. n" 17) contiene la linea f 



luogo dei vertici di questi coni. Dico che questa linea è allora una retta (in quanto 



non sia ^3 stessa un cono). 



Vi è infatti in ogni sottogruppo semplice oj'^ (G') di G un sottogruppo coi (para- 

 bolico) che lascia fisso un (solo) cono f" con tutte le sue generatrici ; e quindi anche 

 tutte le rette uscenti dal vertice C di questo cono e contenute nel relativo S„+i. Fra 

 queste rette vi sono in particolare quelle che da C proiettano i vertici (supposti distinti) 

 degli altri coni f" (poiché questi vertici stanno in S^, e quindi nel detto S„_i.i): perchè 

 dunque tali rette risultino tutte invarianti senza che siano tali gli co' coni f", è 

 necessario che le rette stesse coincidano, ossia che f sia una retta, e. s. v. d. — La 

 varietà ^3 si comporrà pertanto di 00' coni f" aventi i vertici su di una retta e con- 

 tenuti in spazi S„j.i passanti per questa retta. Di questo caso ci occuperemo al n" seg. 

 2° Lo spazio Sft non contiene la linea t luogo dei vertici dei coni T". In tal 

 caso ogni sottogruppo co ' parabolico di un gruppo G' lascerà fisso (se /( > 0) ogni 

 punto di questo spazio (perchè, essendo fisse tutte le generatrici di un cono f, de- 

 vono risultar fissi tutti i punti di ogni spazio invariante contenuto neirS„+i di questo 

 cono e non passante pel vertice di esso). Di qui si trae che G' non potrà piìi ope- 



