35 I GRUPPI DI JO.NQUIÈRES GENERALIZZATI 255 



rare in modo co^ sul sistema dei punti di detto S^, e dovrà perciò lasciar fisso 

 anch'esso ciascuno di questi punti. Saranno allora invarianti rispetto a G' anche 

 un S,_A_i non incontrante quell'S^ e contenente la linea t, nonché tutti gli Sr-h che 

 da esso proiettano i singoli punti dell'S^ medesimo ('). Il gruppo G' risulterebbe 

 perciò intransitivo rispetto a 1^3, e vi ammetterebbe tutto un fascio di rigate inva- 

 rianti, appartenenti alla congruenza delle «, e contenute in spazi S,_/, per rS,_ft_i 

 considerato. E ciò è incompatibile coli' ipotesi fatta che 6' operi sulla congruenza 

 delle « come un gruppo proiettivo semplice crJ sopra un cono (poiché un tal gruppo 

 deve essere transitivo rispetto al cono stesso). 



Rimane soltanto a esaminare il caso li = 0; il caso cioè in cui gli spazi S„_j.i 

 dei coni P al)biano un solo punto P a comune (il quale non sia vei'tice di tutti 

 questi coni). Questo caso si riduce ai precedenti mostrando come il punto P debba 

 certo appartenere a ciascuno dei coni f". E infatti, se cosi avviene, la varietà ^3 si 

 proietterà univocamente da questo punto in una varietà analoga ix'^^, nella quale i 

 coni f" saranno sostituiti da coni, pure razionali normali, di ordine n — 1; e al 

 gruppo G verrà a sostituirsi un gruppo anche proiettivo sulla nuova varietà, sulla 

 quale si potrà pertanto i-agionare come su ILI3 (e il procedimento ha in ogni caso 

 termine). 



Gli spazi S,.^i dei coni f", formando (per ipotesi) una M„^2 normale, e non con- 

 tenendo tutti la curva f luogo dei vertici dei coni medesimi, dovranno incontrare 

 lo spazio Z, di questa curva secondo spazi minori formanti una varietà anche nor- 

 male e invariante rispetto a G ; e perciò, necessariamente, nei punti stessi di x (sol- 

 tanto). Le co^ rette a della varietà H3 verranno perciò proiettate univocamente da Z, 

 secondo spazi S,+i, i quali potranno considerarsi come elementi di una superficie <p, 

 appartenente allo spazio lineai'e costituito da tutti gli S,+i passanti per Z,; e dimo- 

 strare clie il punto P appartiene alla varietà fHj equivarrà a dimostrare che lo 

 spazio Z.P é un elemento di questa superficie (9). Ora, sopra questa superficie ogni 

 gruppo G' opererà (come sulla congruenza delle «, ossia) come un gruppo proiettivo 

 semplice so» sopra un cono A''; e di qui si può appunto dedurre che l'elemento 

 (fisso) Z, P deve appartenere alla superficie qp. Noi lo dedurremo dalla determinazione 

 di tutte le superficie che ammettono un gruppo siffatto (semplice, cc^) di trasfor- 

 mazioni proiettive; determinazione della quale dovremo occuparci al 11° seg. (cfr. in 

 particolare la nota alla fine del n° stesso). A parte questo, non ci resterà da esami- 

 nare che il caso 1" di questo n". 



23. — Supponiamo dunque che la varietà ijj contenga un fascio di coni F" coi 

 vertici sopra una retta b e gli spazi S„+i passanti tutti per questa retta, e ricor- 

 diamo altresì che la varietà deve ammettere un gruppo continuo G di trasformazioni 

 proiettive, operante sulla congruenza delle rette a (generatrici dei coni f") come un 

 gruppo proiettivo non integrabile sopra un cono razionale normale A*" (p > 1). 



Per trarre da quest'ultimo fatto le opportune conseguenze relative alla varietà M3 - 

 conviene fissare per ora l'attenzione, anziché sulla congruenza stessa delle a, sulla 



(') Cfr. la mia Mem. cit. ; Sulle varietà ah/ebriche ecc., § 2. 



