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varietà oo^ dei piani che proiettano (univocamente) queste rette dalla ò; varietà clic 

 può considerarsi come una superficie (t> dello spazio !.,_, costituito dai piani dello 

 spazio complessivo S, che passano per b stessa ('). Questa superficie risulterà così ri- 

 ferita al cono A'' in modo che alle trasformazioni su di essa determinate da Ct corri- 

 sponderanno trasformazioni proiettive di questo cono ; e le generatrici di A*" saranno 

 immagini di curve y""' sopra (costituite dai sistemi coi j; pj^ni che proiettano 

 da b le generatrici dei singoli coni f). 



Immaginiamo rappresentato il cono A'' sopra un piano mediante il sistema li- 

 neare delle curve di ordine p aventi a comune un punto (p — 1)'''°M q p — 1 punti 

 semplici N, infinitamente vicini ad M (ossia le p — 1 tangenti in M stesso). Alle se- 

 zioni iperpiane della superficie <t> — già riferita a A'' — corrisponderanno su questo 

 piano delle curve qp incontranti i raggi del fascio M in n — 1 punti variabili, e aventi 

 in particolare la multiplicità n — 1 in ciascuno dei punti N, (che sono immagini di 

 altrettante generatrici del cono A''). Ne segue che la multiplicità del punto M per 

 le (p sarà di ordine >(n — 1) (p — 1), e si potrà perciò porre =[n — l)(p — l)-f', 

 essendo allora {n — \)p-\-l l'ordine delle q) medesime, e /(>0) l'ordine della curva 

 di 4» che corrisponde al punto M del piano rappresentativo, ossia al vertice del 

 cono A*". Infine questo sistema lineare di curve cp deve essere completo — deter- 

 minato cioè dai soli punti basi — perchè la superficie '^ risulta normale se è 

 tale la vai'ietà Hs; e non può nemmeno avere altri punti basi (all'infuori dei punti 

 M e N,), perchè è invariante rispetto a un gruppo di Jonquières non integrabile, le 

 cui trasformazioni non ammettono altri punti fissi (o fondamentali). Esso dovrà 

 quindi comporsi di tutte le curve soddisfacenti alle condizioni accennate (aventi cioè 

 le accennate multiplicità nei punti M e Nj). Si può dunque facilmente calcolarne la 

 dimensione, che si trova =2'(2) + «(^+l) — 1- Tale sarà perciò la dimensione dello 

 spazio cui appartiene la superficie O, e la dimensione dello spazio Sr della varietà pj 

 sarà del tipo ;• =p {^^ + « (^ + 1) + 1 . 



Ogni gruppo proiettivo semplice co^ trasformante in sé la superficie '^ opererà 

 in modo anche oo^ sul fascio delle curve y contenute in 4>, e lascerà fisse sopra <t> 

 stessa due diverse curve unisecanti le t, e precisamente la curva di ordine l cor- 

 rispondente al vertice del cono A*" e una curva corrispondente a una sezione iper- 

 piana (irriducibile) di questo cono, il cui ordine risulta =(« — l)p-\-l. E poiché da 

 quest'ultima curva la superficie O si proietta in una superficie dello stesso tipo, per 

 la quale soltanto il numero n risulta diminuito di un'unità (sostituito cioè da n — 1), 

 così, ricordando anche le proprietà dei gruppi proiettivi semplici x^ di uno spazio 

 qualunque, si conclude facilmente che, nello spazio della superficie (t> (ma fuori di 

 questa), saranno pure invarianti rispetto al gruppo co^ considerato altre h— 2 curve 

 aventi ordini del tipo ìp-\-l per \<i<n — 2. Su ciascuna di queste curve il gruppo 

 stesso opererà in modo anche oo^; esse dovranno appartenere a spazi tutti indipen- 

 denti, e lo spazio cui appartiene 4> sarà il minimo spazio contenente questi ultimi 



(') La retta h, comune agli spazi S.,+i dei coni P", deve essere altresì generatrice comune di 

 tutti questi coni, perchè se no (come facilmente si vede) la varietà oo' di piani considerata (ossia 

 la superficie <t>) non sarebbe normale, mentre invece deve esserlo se "e tale la varietà Ms. 



