37 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 257 



e quelli delle due curve fisse sopra O medesima, come è anche confermato dal fatto 

 che la somma delle dimensioni di questi spazi aumentate di un'unità eguaglia la 

 dimensione (r — 2) dello spazio di <t>, aumentata anche di un'unità: 



1=0 '■''•' 



24. — Nello spazio Sr = [(2)p-\- n{l-\-l)-\-l] della varietà Hg saranno perciò 

 invarianti, rispetto a ogni sottogruppo semplice oo^ (G') contenuto in G, altrettanti 

 coni di seconda specie di ordini ip-{-l aventi la retta b per asse, e quindi anche 

 altrettante curve di questi stessi ordini, poste in spazi non incontranti la retta è e 

 non incontrantisi nemmeno fra loro. (Anche questo segue dalle note proprietà dei 

 gruppi proiettivi semplici oo^). 



Ora il fatto che la varietà M3 deve contenere un fascio di coni T" razionali 

 normali (mentre finora questi avrebbero potuto essere coni anche non normali, purché 

 contenuti in coni razionali normali di 2^ specie di ordine n — 1, aventi la retta b per 

 asse) ci permette di concludere che il numero l (finora indeterminato) deve essere 

 precisamente ^p — 1. 



Ponendo per brevità ip-\-l=ki il gnippo G' potrà infatti rappresentarsi con 

 equazioni del tipo (§ 3 della mia Mem. cit.) : 



Xo = ax„ + P:Ci x^ = yx^ + bxi 

 l^?' = a*.(/^" + A:.a*.-ipy."+ 



essendo ('=0, 1, ... n — 1; i parametri a, p, f, ò legati dalla relazione ab — Pf=l; e 

 la retta b il luogo dei punti per cui sono nulle tutte le coordinate //. Ponendo in 



queste equazioni t = quindi & = - si stacca da G' un sottogruppo oo^ (G") ri- 

 spetto al quale è invariante quel cono P" il cui vertice B ha nulla anche la coordi- 

 nata Xi (e perciò soltanto .t„=f=0). Lo spazio S„+i di questo cono sarà quello rappre- 

 sentato dall'annullarsi di tutte le coordinate 1/ meno leyj,'*. Perciò il sottogruppo (00') 

 subordinato da G" nella forma 00" delle rette uscenti da B entro questo S„4.i sarà 

 rappresentato dalle equazioni: 



1 



a 



/,. . ,,(>l — n*.- !/('! = «'p+'h''! 



dove ancora i=0, !,...« — 1. Ora, perchè questo gruppo trasformi in se uno, e quindi 

 anche infiniti coni razionali normali di ordine n uscenti da B, è necessaiio (e suffi- 

 ciente) che gli esponenti del parametro a: 



— 1 l p + l 2p + l . . . {n — l)p-\-l 



(') Essendo ^ > 0, il solo di questi spazi minori fissi che possa ridursi a un punto "e quello 

 che corrisponde al valore » = ; quello cioè che incontra <l> secondo la curva fissa di ordine l. 

 Perchè esso si riduca effettivamente a un punto, occorre altresì che sia l = Q; e questo punto sta 

 allora sopra <t). Risulta così dimostrato quanto avevamo asserito alla fine del n" prec. 



Seuìe C. Tom. XLVIII. h' 



