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siano in progressione aritmetica ('), il che richiede precisamente l-\-l^p, ossia 

 l^=p — 1, e. s. V. d. 



Di qui risulta pure confermato (cfr. la prima nota al n° 23) che i coni f" con- 

 terranno tutti la retta b come generatrice, e sarà l = p — 1 l'ordine del cono di 2^ 

 specie formato dai piani tangenti ad essi lungo b stessa. E lo spazio cui appartiene 



la varietà Ma sarà di dimensione r=("2 jp-\-i. 



25. — Ci rimane ora a determinare l'ordine della varietà Uj, e la dimensione 

 del massimo gruppo (t di trasformazioni proiettive su di essa (o almeno del mas- 

 . simo gruppo proiettivo trasformante in sé la congruenza delle a). 



Quanto all'ordine di Hs , possiamo con.siderare lo spazio di dimensione p i^j + 1 



contenente gli S„ osculatori a tutti i coni f" lungo b, e osservare che la sezione 

 determinata in n-^ da un iperpiano qualunque passante per questo spazio deve com- 

 porsi (soltanto) di un certo numero di coni P". Questo numero non è altro che quello 

 da noi già indicato con ^„_i, e perciò ={n— l)p-]-l=np — l. La varietà Hs sarà 

 perciò di ordine n{np — l). 



Quanto alla dimensione del massimo gruppo G, osserviamo anzitutto che sulla 

 congruenza delle a questo gruppo dovrà operare come il massimo gruppo proiettivo sul 

 cono A'', e quindi in modo 00''+^. 



Rimane ora a vedere quante trasformazioni proiettive sopra Hg possano avere 

 le a come traiettorie. Queste trasformazioni si ripartiranno in gruppi co' di omo- 

 grafie rigate paraboliche, ciascuno dei quali, avendo le traiettorie appoggiate alla 

 retta b, dovrà lasciar fissi tutti gli iperpiani passanti per b stessa, e quindi anche 

 tutti i punti di uno spazio S,., passante pure per b. Questo 8r-t dovrà incontrare 

 gli S„+i dei coni P" secondo spazi S„ (in modo che detti S„+i ne vengano proiettati 

 univocamente secondo iperpiani di un fascio); esso starà perciò in un iperpiano (Sr_i) 

 collo spazio S„j.i di un qualunque cono f". Inversamente, ogni iperpiano passante 

 per un tale S„+, segherà ultei-iormente la M„+2 luogo degli stessi S„j.i secondo una 

 varietà appartenente a uno spazio S,._£, il quale sarà luogo di punti uniti per un 

 gruppo co' di coUineazioni assiali paraboliche, aventi le rette a per traiettorie, e 

 trasformanti M3 in se stessa. Il numero di tali S,_2 è perciò infinito di dimensione: 



(,._!)_(„ + l) = ("+l)p_„_l. 



Sarà dunque questa, aumentata di un'unità, la dimensione del gruppo delle omo- 

 grafie rigate sulla varietà lUj, e perciò il gruppo di tutte le trasformazioni proiettive 



della varietà ILI3 in sé stessa sarà di dimensione y'~^ \p — n-\-p-\'ò. 



Un caso particolare molto semplice si ha per « = 2, p=^ 1. La varietà \x^ è allora 

 una quadrica non degenere di S4, sulla quale si considera (soltanto) .il gruppo 00" 



{') Se no ad es. i coni invarianti entro lo spazio a tre dimensioni 1/0'*' = J-'o'''' = . . . = !'o'"~*' = 

 — le cui equazioni sarebbero t/o'"' = Cai^v/o''' — non potrebbero essere (come qui occorre) 



coni quadrici. Per l =ì> — 1 queste equazioni rappresentano invece gruppi di p coni quadrici. 



