39 I GRUPPI DI JONQUiÈRES GENERALIZZATI 259 



delle trasformazioni proiettive che lasciano fissa una data retta (e che è appunto il mas- 

 simo gruppo il quale trasformi in sé la congruenza delle rette della quadrica che si 

 appoggiano a questa retta fissa). 



36. — Si tratta ora di rappresentare sullo spazio S3 la varietà Hs e il gruppo 

 complessivo G delle trasformazioni proiettive su di essa. 



In particolare, possiamo proporci di stabilire una rappresentazione tale che alle 

 rette a corrispondano raggi di una stella, e alle rigate sezioni di lU;, con iperpiani 

 passanti per b corrispondano coni di questa stella formanti un sistema lineare iden- 

 tico a quello delle curve <p (di ordine {n — l)2)-\-l^=np — 1), considerato al n" 23. — 

 E poiché la rappresentazione piana della superficie O mediante il sistema delle cp 

 poteva ottenersi con un'opportuna proiezione di questa superficie, così potremo ora 

 rappresentare la varietà jUj nel modo richiesto, proiettandola da uno spazio Zr_j con- 

 tenuto in un opportuno S^^s passante per la retta b (e incontrante perciò esso 

 stesso la b in un punto B). Questo Sr_3 dovrà incontrare 1X3 secondo una rigata R, 

 avente a comune con ogni cono P (all'infuori di h) n — 2 generatrici, e avente 

 perciò b stessa come direttrice (w — 2)^^", nonché come generatrice multipla di ordine 

 l = p — 1 . L'ordine di questa rigata si può facilmente calcolare, e si trova essere 

 = n{np — 1) — np; come pure si trova che lo stesso spazio S,_3 dovrà ancora in- 

 contrare Ha secondo altre p — 1 rette (a) isolate. Tutto ciò si deduce facilmente, 

 dalla rappresentazione piana della congruenza delle a mediante il sistema lineare 

 delle curve 9, e dal fatto che all' intersezione di 1^3 col detto Sr_3 deve corrispon- 

 dere una curva residua di una retta genei'ica rispetto al sistema delle stesse cp (curva 

 che contiene necessariamente le p — 1 rette fondamentali MN,). 



Lo spazio Zr_4 (generico entro l'Sr-s considerato) incontrerà perciò 1U3 secondo 

 una curva a di ordine n{np — 1) — np, più alti'i p — 1 punti C, C2 ... Cp_i fuori di questa 

 curva. Con ogni cono f" esso avrà comuni n —1 punti posti sopra 0, uno dei quali 

 sarà sempre l'intersezione (unica) B di (J con b. Però ciascuno dei p — 1 coni pas- 

 santi rispett. per i punti C, (i=^l,2 ...p — 1) sarà incontrato da Z,_4 in n punti (lo 

 stesso C,, e altri n — 1 sopra a). 



La proiezione di 1^3 da un tale spazio I,._4 è univoca perchè ogni S,_2 condotto 

 per questo spazio e per la retta b incontra ulteriormente ILI3 stessa secondo una 

 retta a. Le rette a si proietteranno in raggi di una stella A; i coni V" secondo 

 piani a di un certo fascio (di asse «o) entro questa stella. 



Le sezioni iperpiane di jja si proietteranno secondo superficie F di ordine 



n {np — 1) — [n {np — 1) — np] = np 



aventi a comune con ogni raggio della stella A un solo punto variabile, e incon- 

 tranti i piani a secondo curve variabili di ordine n: tali superficie avranno perciò 

 il punto A come multiplo di ordine np — 1, e la retta «„ come multipla di ordine 

 np~ n = n (p — 1). 



I ^ — 1 coni f" passanti rispett. per i punti C, si proietteranno secondo altret- 

 tante rette e, (della stella A) infinitamente vicine alle «o, le quali saranno multiple 

 di ordine n per tutte le superficie F. E le generatrici di quel cono f" che ha il ver- 



