41 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI Ìì61 



parametro di meno di quest'ultimo. Questo sottogruppo si può costruire colla regola 

 generale data al n° 9 per i gruppi integrabili tipici, avvertendo tuttavia: 1° che 

 nella stella A esso subordina soltanto le co''+* trasformazioni che, oltre al sistema 

 lineare dei coni V, lasciano fisso il piano a considerato ; 2° che le superficie luoghi 

 di punti uniti per quelle operazioni di questo sottogruppo che lasciano fisso ogni 

 raggio della stella A non sono tutte quelle del sistema Z, ma soltanto quelle fra 

 esse che contengono come parte un piano a generico, ad es'. il piano considerato 

 — per il che occorrono n-\-2 ulteriori condizioni — . 



Questo è confermato dal fatto che la dimensione del nominato gruppo integrabile 

 risulta 



= ip + 4) + [P{"P) ^ n - 1] + 1 == ì;('^+1) -„-\-p^i. 



Costruendo gli ooi sottogruppi integrabili di questo tipo (trasformanti in sé i 

 singoli piani a) si ha dal loro insieme il gruppo totale di cui trattasi. 



Il gruppo complessivo G subordina nella stella di rette A un gruppo di Jonquières 

 di ordine j), e in ogni piano a un gruppo di Jonquières di ordine n. Il primo può 

 assegnarsi completamente ad arbitrio; quanto al secondo, rimangono ancora dispo- 

 nibili, per un certo numero di piani a , dei parametri in numero decrescente da 

 H — 2 a zero. 



Per trovare infine l'equazione del sistema lineare Z, assumiamo il punto A come 

 punto Xi^ Xi^ X3 = 0, la retta a come retta x^ ^ x^ -^ , il piano della curva f 

 come piano a;i = 0; sia inoltre fixi,xs)=^0 l'equazione complessiva (di grado p — 1) 

 del sistema dei piani ac,. Il sistema lineare dei coni V sarà allora rappresentato 

 dall'equazione: 



Xsflx.x^) + Fp{x,x.^ — 



nella quale si suppongono variabili i ^ + 1 coefficienti di F^. Formando di questo 

 sistema lineare la potenza {n — l)sima^ e sommandovi il sistema di tutti i gruppi di 

 l=p — 1 piani del fascio «o, abbiamo l'equazione generale: 



la quale al variare di tutti i coefficienti delle forme cp (di gradi eguali ai rispet- 

 tivi indici, e contenenti le sole x^, x^) rappresenterà il sistema lineare di tutti i coni 

 (di ordine np — 1) contenuti in Z. L'equazione generale del sistema Z sarà pertanto 

 del tipo: 



n 



X, Z [x^.fixi x,)]""q),p_, {X, x.,y] — Xi (ctXi -f- x,) . f{Xi x^) . 0„p_p_i {Xi x^x^) + V„p {x.x.x^) 



essendo a un nuovo parametro, O ^ l'equazione del cono tangente comune alle F 

 in A (astraendo dai piani ac,), e V una forma di grado np a coefficienti costanti, 

 tale che sia x,x.2f<t>-\~^>=0 una superficie arbitraria del sistema Z, tangente in A al 

 piano Xi=0 (che è un piano generico del fascio «o)- D'altra parte l'equazione ¥==0 



