262 GINO FANO 42 



dovrà rappresentare un cono di vertice A e avente anche la retta «o come [np — nY^^ 

 e le e, come «p'* (ma non passante per r); dal che si trae che sarà: 



Y ^ Kf)" + (X3fr >, + ... + i)i„, 



dove le \v,p contengono le sole Xi,.r.>, e possono ridursi alle sole potenze x.^''', inglo- 

 bando gli altri termini nei prodotti x^ q),p_i al primo membro. L' equazione del si- 

 stema Z potrà pertanto scriversi sotto la forma seguente: 



X, ì [x3f{xiXi)]''-'(pi,_,{XiX,)] = Xi\ax, + Xi]fix,x,)<Ì>{x,x,X3) + I a,[Xsf{x,Xi)Y-'xÌ' (1) 

 1=1 ;=" 



dove le (ij si suppongono costanti, e i parametri (non omogenei) sono dati da a e dai 

 coefficienti delle <p,p_i in numero totale di ^-\-P\'2 ). 



Per semplificare quest' equazione , possiamo far coincidere fra loro i p — 1 

 piani tangenti lungo «o ai coni V; di modo che, assunto quest'unico piano come 

 piano .T2 = 0, sarà /■= 352''"'. Allora potremo anche far coincidere il cono 0=0 

 (di ordine np — p — 1) con questo stesso piano, contato un numero opportuno di 

 volte (onde <i> = a^a"''"'"'), bastando perciò scegliere in modo conveniente lo spazio 

 Zr-j da cui deve proiettarsi la varietà Hj (i). — Passando pertanto a coordinate non 



omogenee x = —, y = — , z= — , il sistema lineare T risulterà rappresentato dal- 



X2 ^2 *^2 



l'equazione: 



x]}r'%-i + /-''P.p-i + ... + cp„.-. ; = \a.c + 1)^ + aoy" + a^f + ... + a„ (1') 



dove le cp sono polinomi in .e, di gradi eguali ai rispettivi indici. 



Per trovare le equazioni del gruppo complessivo G, ci converrà considerare 

 separatamente diverse schiere di trasformazioni in esso contenute, e scrivere le equa- 

 zioni di queste, moltiplicando infine tali schiere l'una per l'altra. 



Anzitutto, le trasformazioni — dipendenti da p (""^ 1 — n parametri — rispetto 

 alle quali sono invarianti tutti i l'aggi della stella A — ossia le rette x = cost. 

 y ^ così. — , si rappresentano ponendo: 



x' = .e : y' = // ; 5' = 2 + *• | y"~'- Sy_j + y"''' Ei^^, + - + hp-s i 



dove le £ sono ancora polinomi arbitrari nella sola x, di gradi eguali ai rispettivi 

 indici: ciò segue immediatamente dal fatto che il luogo dei punti uniti di una tale 

 trasformazione, insieme a un piano qualunque del fascio x = cost., deve sempre for- 

 mare una superficie (e pi'ecisamente un conol del sistema Z. 



(') Ricordiamo che questo spazio doveva essere proiettato dalla retta b (ad essa incidente) se- 

 condo un Sr_3 incontrante M3 in una rigata di ordine )i(np — \) — np = n{np — p — 1), più altre 

 p — 1 rette : quella rigata deve ora ridursi a un unico cono T" contato np — p — 1 volta, e queste 

 p — 1 rette devono coincidere con una medesima generatrice (distinta da b) dello stesso cono T". 



