43 I GRUPPI DI JON'QUIÈRES GENERALIZZATI 263 



Queste trasformazioni devono poi moltiplicarsi per altre 00''+^, le quali nella 

 stella di rette .r = cost., y = cost. devono subordinare il gruppo (pure 00''+^: 



, __ aa; + & . , _ y + np(x) 



cx+d ' ■' {cx+dìP 



dove r|p è simbolo di polinomio affatto arbitrario di grado p (in x). Quest' ultimo 

 gruppo può considerarsi come risultante dalla moltiplicazione delle tre schiere: 



I x' = ax y' = l/ + X ■ Ip-i (x) 



n ■ ^' = — ^ !/'- •"+'' 



cx-\- d ■^ (ex + (Ì)p 



in x' ^x-\-h y =y. 



Corrispondentemente alle equazioni I, il sistema (1') rimane invariato col porre 

 semplicemente z' = z. 



Le equazioni II lasciano invariato lo stesso sistema quando ad esse si aggiunga 

 l'altra: 



^' = d{cxldr-' j^ + «o2/"+«i!/"-'+...+«,.-K(2/ + fcr+ai(^% + fc)"-'+...+a„c^"^] \. 



E queste sono tutte trasformazioni che lasciano fìsso il piano x = 0. Invece le 

 operazioni a cui conducono le equazioni III mutano questo piano nel piano x-\-b=0, 

 in modo precisamente che i punti della curva t", contenuta nel piano x =^ 0, hanno 

 per corrispondenti i raggi y = cost. del piano x-\-b=:0, e corrispondono a lor 

 volta ai raggi y = cost. del piano x — è = 0. Supposto perciò di voler far corri- 

 spondere a se stessa (il che è certo possibile) la superficie z -\- aoij" -\- . . . -\- a„ = 0, 

 dovremo scrivere che al sistema formato (in coordinate con apici) dalla superficie 

 z' -\- ani/" + • • • = e dal piano a;' — è = (ossia x = 0) corrisponde il sistema for- 

 mato dalla superficie 2 + ao «/" + ...=: e dal piano .e + * = 0. Dovremo cioè porre: 



Z + ffo.V'" -r - + «n = cost. ^^— [Z + «0»/" + - + «n) 



e si trova allora che il sistema lineare (l'i risulta invariante (per .r' = a; + *, y = y) 

 quando quest'ultima costante sia =1, e perciò si ponga: 



^' = ^ ^ + ì ('^02'" + «12'""' + "• + «")• 



Componendo infine queste diverse schiere, dipendenti rispett. da p ("o^M — n, 



2^ + 1 , 3, e 1 parametro (in tutto dunque appunto p ("^^) — n -\- p -\- h), si hanno 

 le equazioni complessive del gruppo sotto la forma: 



