264 GINO FANO 44 



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^ [«o(y + A:-f-x.np-,)"+ai(2/+fc+a;.n,-,)"-'(caJ+rfr+...+a.(ca;+(^r] _ 



l'ultima delle quali può anche scriversi così: 



Z + X [f-%-^ + >/-' l,,-z + ... + S„,_J 



t 



{ad-bc)x\ ^ (•„^y„^„^^-.-,^____L«„]_[«^(y+i)'.4. „^,ZP(y+i.)-.-.4.... + „„,in,-, j 



+ iad-bc)x l^''°^2/+^ -r ^ • np-,)"+ai(2/+A:+^. n,_0"-'(c^+^r+ .- +«„(c.r+(^r] 



CAPITOLO vn. 



Gruppi con una stella invariante di rette, 

 entro la quale viene subordinato un gruppo primitivo. 



37. — Dobbiamo ora occuparci dei gruppi cremoniani che trasformano in sé 

 una stella di rette, e subordinano in questa stella o un gruppo primitivo — che 

 può supporsi proiettivo (oo^, co", coS) — oppure il gruppo proiettivo co^ con un 

 cono quadrico fìsso. Cominciamo dal primo di questi due casi; dell'altro ci occupe- 

 remo al successivo Gap. Vili. 



Indichiamo con A il vertice della stella invariante, con a e a rispettivamente 

 un raggio e un piano generico di questa stella, e con G un gruppo cremoniano qua- 

 lunque, il quale subordini nella stella A un gruppo proiettivo primitivo. 



Costruiamo (come già al n" 8) un sistema lineare I di superficie unisecanti i 

 raggi a (quindi di un certo ordine n, colla multiplicità «—1 nel punto A) il quale 

 sia invariante rispetto a 6; e da questo sistema stacchiamo quante piìi volte è pos- 

 sibile un piano a generico. Avremo nuovi sistemi lineari (residui) invarianti di di- 

 mensioni decrescenti. Ci arresteremo giungendo a un sistema li (certo esistente) di 

 dimensione >0, il quale: 



aj non contenga più la stella dei piani a (non contenga cioè nessuna super- 

 ficie contenente a sua volta [o coincidente con] un piano a generico); — oppure: 



bj sia tale che il sistema residuo di un piano a generico (astrazion fatta da 

 un'eventuale parte fissa) sia un sistema di soli coni (di dimensione > 0). 



L' ipotesi a) comprende in particolare i casi in cui l'accennata costruzione con- 

 duce ad un fascio o ad una rete (invariante) di superficie unisecanti le a. — Se è 



