45 I GRUPPI DI JONQUJÈRES GENER.\LIZZ.\TI 265 



invariante un fascio di tali superficie, il gruppo G si potrà ridurre a uno dei gruppi 

 di trasformazioni quadratiche incontrati al n° i. Si ha invece un tipo nuovo e in- 

 teressante quando risulti invariante una rete di superficie unisecanti le a. 



28. — Supposta invariante rispetto a G una rete di superficie tt unisecanti 

 le a, sarà pure invariante la congruenza (del 1° ordine) delle linee p intersezioni 

 variabili di questa superficie; e quindi il sistema x^ dei coni che da A proiettano 

 le linee stesse. E poiché, nella stella A, il gruppo G non trasforma in se nessun 

 altro sistema x- di coni all'infuori del sistema dei piani a, 'così le linee p staranno 

 rispettivamente in questi piani. Infine, poiché con due sole condizioni si può imporre 

 come fissa una superficie tt, e quindi il sistema coi ^gj pjani a contenenti le relative 

 curve p, cosi si conclude che questi cci piani formeranno sempre un fascio (unico 

 sistema co' che possa rendersi invariante con due sole condizioni). In altri termini : 

 Le superficie tt sono luoghi delle curve p uscenti dai punti di uno stesso raggio a 

 (e contenute perciò nei piani a che passano per questo raggio). 



Il gruppo G è in questo caso oloedricamente isomorfo al gruppo (al più co») 

 da esso subordinato nella stella A: infatti ogni operazione di esso la quale muti in 

 se ogni raggio a e ogni piano a lascierà pure fissa ogni curva p, e quindi ogni 

 punto dello spazio. Possiamo anzi limitarci al caso in cui G sia un gruppo oo» (iso- 

 morfo dunque al gruppo di tutte le omografie piane), perchè negli altri casi, essendo 

 invariante (un piano a, e quindi) un sistema ooi di fasci di piani a, sarebbe pure 

 invariante un sistema x^, e precisamente un fascio di superficie tt; e si ricadrebbe 

 quindi in uno dei gruppi quadratici del n° 4. 



Possiamo ora procurarci facilmente un gruppo tipico co» al quale ridurre G. 

 Per il punto A, centro della stella invariante, facciamo passare una cubica 

 sghemba s. Consideriamo poi la congruenza (del 1° ordine) delle corde e di questa 

 cubica (1). e riferiamola (birazionalmente) alla congruenza delle p, facendo corrispon- 

 dere fra loro due linee qualunque proiettate da A secondo (ossia contenute ini un 

 medesimo piano a. Questa corrispondenza è a sua volta contenuta in una corrispon- 

 denza cremoniana dello spazio (di punti), determinata dall'ulteriore condizione di 

 lasciar fisso ogni raggio a (e di mutare quindi ogni punto dello spazio, come inter- 

 sezione di una p con un raggio a, nel punto intersezione dello stesso raggio a colla 

 corda e corrispondente a quella p). Quest'ultima corrispondenza trasforma la rete delle 

 superficie tt in quella delle quadriche Q passanti per la cubica s, e quindi il gruppo G 

 in un nuovo gruppo G' che opererà ancora proiettivamente sulla stella A, e trasfor- 

 merà in se la congruenza delle rette (corde) e, e la rete di quadriche Q. 



Essendo pertanto invarianti rispetto a G la stella dei piani a e la rete delle 

 quadriche Q, sarà pure invariante il sistema lineare (completo) somma di questi due, 



(') In luogo di questa congruenza si potrebbe anche considerare una congruenza lineare di rette. 

 Ciò equivarrebbe a far spezzare la cubica s nelle due direttrici di quest'ultima congruenza e nella 

 retta della congi-uenza etessa che passa per A. Si potrebbe anzi ricon-ere, più generalmente, a qual- 

 siasi congruenza del 1° ordine composta di curve contenute rispett. negli oc' piani a e unisecanti 

 i raggi a giacenti rispett. in questi piani. 



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