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ossia il sistema lineare x' delle superficie del 3" ordine passanti per la cubica S e 

 aventi in A un punto doppio. 



Il gruppo stesso si comporrà di trasformazioni cubiche, determinate da sistemi 

 omaloidici di superficie contenute nel sistema anzidetto, e passanti ancora per una 

 seconda cubica sghemba uscente da A. 



Il nuovo gruppo tipico che ci si presenta è dunque il gruppo co» delle trasfor- 

 mazioni cubiche che mutano in sé il sistema lineare oo' (di grado 6) delle superficie 

 di 3" ordine passanti per una cubica sghemba, e aventi un punto doppio fisso sopra 

 questa curva. 



Per costruire l'operazione piìi generale di questo gruppo co» basta assegnare 

 ad arbitrio una collineazione nella stella (invariante) A. Allora ai punti di un raggio 

 qualunque a di questa stella dovranno corrispondere i punti del raggio a ad esso 

 omologo in quella collineazione; di pili, considerate le quadriche (completamente de- 

 terminate) che passano per la cubica s e rispettivamente per i due raggi a e a', si 

 dovranno sempre corrispondere due punti P e P' di questi raggi, tali che i piani 

 ivi tangenti alle quadriche stesse risultino omologhi nella collineazione assegnata 

 entro la stella A: questi piani tangenti proiettano infatti da A le corde di s pas- 

 santi rispettivamente per P e P'. 



Volendo trovare le equazioni di questo gruppo, possiamo assumere A come 

 punto Xi = x.2^X3:^0. Abbiamo allora subito le prime tre equazioni: 



x\ = «,.-ri 4- è,a;j + CiXs 



x'i=^aiXi-\- b2X2-\- C2X3 (1) 



X 3 ^= tti X\ -\- O3 Xi -\- C3 Xi 



coi nove parametri omogenei a,, bi, e,. La cubica 5 (passante per A) sia rappresen- 

 tata dalle equazioni: 



= 



Xi Xi Xt 



e quindi la rete delle quadriche Q dall'equazione: 



Xi {x%x\ — xf) + \{XiXi — x^x^) -\- ^^^[xiXt — 4) = {'^) 



la quale, per una data terna di valori delle A,, rappresenta precisamente quella qua- 

 drica (in generale unica) della rete che contiene il raggio (della stella A) ; 



a-] ^ _£3_ 



X, "" X, ~ X. 



ovvero, in coordinate m. di piani nella stella medesima: 



Xi «1 -f XjMj -f X3M3 = 0. (3) 



Ora il nostro gruppo oo^ deve operare sulla rete di quadriche (2) nello stesso 

 modo in cui opera sul sistema lineare (3) — che è il sistema dei raggi della 



