47 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 267 



stella A, considerati come inviluppi di piani — . Perciò i binomi {Xi x^ — ^3)', . . . (con- 

 tenenti le coordinate cogli apici) si esprimeranno mediante gli analoghi (^2 x^— xl), . . . 

 — a meno di un eventuale fattore comune — nello stesso modo in cui le «', si 

 esprimono mediante le w, . Limitandoci pertanto a considerare i rapporti dei detti 

 binomi, indicando con A,, B, , C, i subdeterminanti contenuti in [«i bo Cg], e ponendo 

 per brevità: 



Z, = A,(a;..a;4 — xl) + Bj(a;2a;:, — XiX,) + OiixiXi — xl); 

 avremo : 



(XiXi — X%)' ^ _ [X3X3— XjXj ^ 



(x,a-3 — x%)' I3 ' {xiX, — a^i)' X3 



e di qui ricaviamo subito per x'^ due diverse espressioni, le quali coincidono per- 

 chè, eguagliate, conducono subito all'identità: 



x\ T, + x', I, + x\ I3 = 0. 

 Potremo quindi ritenere ad es.: 



. AiJXjXj — x^3)-\-Bx{XìX3 — XiXi)-\-C,{xiX2 — x\ì x'jx's — x\ 1 x'a 



* A3 (a:2 0:4 — ^'3)4-83^2X3 — aria-i) 4-031x1 a;3 — a:%) " x\ ' .r'j 



dove a x\, x\, x'-i si devono intendere sostituiti i valori dati dalle (1). Il sistema 

 delle (1) e di quest'ultima equazione rappresenterà il nostro gruppo oo». 



L'equazione del sistema lineare invariante 00' di superficie cubiche (somma del 

 sistema (2) e della stella di piani a, ,ri 4- «2 a;^ 4- «s ^73 ^ 0) è la seguente: 



(oia-i 4- a2a;2 -f 0.^X3) {x^x^ — x'^ -\- {^^x^ -\- ^^x^ -{- pgajg) [x^x^ — ^jxj 4- 

 4- (Tia:i 4- T2*'2) {■^i^ì — 4) = 



dove si è soppresso il termine contenente il prodotto 



X'i {xyXi — x\) = — Xl {x2Xi — x]) — X.2 [X2X2, — XiaJi) 



Questo sistema lineare rappresenta una varietà M3 dello spazio S, , a curve se- 

 zioni ellittiche (i), sulla quale alle rette a q e corrispondono ancora rette, formanti 

 due congruenze del 1° ordine (con proprietà identiche); e ai piani a e alle qua- 

 driche Q corrispondono rigate cubiche normali (di spazi S^), aventi rispettivamente 

 per generatrici rette delle due congruenze nominate, e per direttrice sempre una 

 retta dell'altra congruenza. Questa varietà M? di S, ammetterà pertanto un gruppo oo^ 

 di trasformazioni proiettive isomorfo al gruppo totale delle omografie piane. 



E questo il caso più semplice di una varietà a tre dimensioni con un gruppo 

 siffatto di trasformazioni proiettive in se ; tali varietà dovendo contenere (per una 

 proposizione stabilita dal sig. Study (^)) due diverse congruenze di curve (razionali 



(') ENKiftuES, ' Rend. Acc. dei Lincei ,, giugno 1894. 



(') LiE, Theorie der Transformationsgruppen, voi. Ili, p. 786-87. 



