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normali) di ordini m, n, nel qual caso sono esse stesse di ordine %mn{m-\-n) e appar- 

 tengono a uno spazio di dimensione — (w+1) («+1) (m+w+2)— 1. Nel caso attuale 

 è m ^ n =\. 



29. — Ritorniamo al sistema Z. considerato al n" 27, e che ora possiamo sup- 

 porre non sia un fascio ne una rete, e abbia perciò la dimensione > 3. Questo si- 

 stema sarà irriducibile (astrazion fatta da un'eventuale parte fissa); e si può anche 

 assicurarsi facilmente che esso è semplice, mostrando come il gruppo G, il quale 

 opera in modo primitivo sulla stella A, non possa trasformare in se nessuna invo- 

 luzione di punti dello spazio S3, tale che due punti coniugati in essa stiano sempre 

 sopra raggi a distinti. (Cos'i pure si elimina facilmente il dubbio che il sistema Zi 

 — qui almeno 00'' — possa appartenere a una congruenza di curve invariante). 



Potremo perciò sostituire al gruppo (cremoniano) G un gruppo proiettivo che 

 indicheremo ancora con G) sopra una varietà (i;, di uno spazio S^, rappresentabile 

 sopra S3 in modo che alle sue sezioni iperpiane corrispondano le superficie del si- 

 stema Hx . Su questa varietà, alle rette a corrisponderanno ancora rette (che indiche- 

 remo pure con a), e ai piani a corrisponderanno certe rigate, qp aventi rette a per 

 generatrici. E, corrispondentemente alle ipotesi a), b) del n° 27, potremo supporre: 



a) che le rigate qp appartengano allo spazio complessivo S^: — oppure: 



b) che lo spazio minore S^ {h<r — \) di una cp generica contenga anche una 

 varietà (fissa) unisecante le a, per modo che ogni S^-i passante per un tale S^. in- 

 contri ulteriormente 1^3 secondo una rigata di generatrici a. 



Osserviamo intanto che nel gruppo G (il quale opera in modo almeno oo^ sulla 

 congruenza delle a) vi sono certo infinite trasformazioni che lasciano fissa una ri- 

 gata qp arbitraria (<Po) con tutte le sue generatrici a, e quindi anche tutto un fascio 

 di rigate qp (senza tuttavia che in ciascuna di queste siano anche fisse tutte le ge- 

 neratrici). E ogni gruppo coi dj trasformazioni cosi fatte subordinerà nello spazio 

 cui appartiene la rigata (p„ un gruppo anche 00^ di omografie rigate (0 eventual- 

 mente di omologie). 



Se dunque questo spazio fosse lo stesso S,., se ne dedurrebbe che, corrispon- 

 dentemente a ciascuno di quei gruppi co', esiste un fascio di rigate 9 invarianti, 

 ciascuna delle quali contiene infinite rette (traiettorie) distinte dalle generatrici a. 

 Queste rigate sarebbero perciò quadriche, e si avrebbe r = 3; ma anche questo caso 

 è da escludersi perchè, per un gruppo proiettivo di S3, le rette « non potrebbero 

 essere che raggi di una stella, e le rigate <p sarebbero allora piani di questa stella 

 (e non apparterrebbero perciò a S3). 



Supponiamo invece che ogni rigata qp appartenga a uno spazio Sa (essendo 

 A < r — 1). il quale incontri ulteriormente ^3 secondo una varietà (fissa) unisecante le a. 

 Questa varietà potrebbe ridursi a un punto, nel qual caso le qp e Hg stessa sarebbero 

 coni; ma non può. essere una curva, se no gli cci coni di rette a uscenti dai singoli 

 punti di questa curva formerebbero un sistema di imprimitività per il gruppo subor- 

 dinato da G nella congruenza delle a. — Vediamo infine se questa varietà possa 

 essere una superficie (hj). Allora, per la stessa ragione di poc'anzi, ogni gruppo oo' 

 il quale lasci fisse tutte le generatrici a di una rigata qp dovrebbe far descrivere ai 



