49 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 269 



punti di questa superficie (che sta nello spazio S» di quella rigata) traiettorie ret- 

 tilinee. La ^l sarebbe dunque una rigata , e anzi in infiniti modi diversi (perchè 

 queste traiettorie varierebbero colla cp); sarebbe dunque un piano (tt). e le rette di 

 questo piano sarebbero rispettivamente direttrici delle »'- rigate qp. 



In questo piano (unisecaate le a) vei-rà anche subordinato da G un gruppo 

 (proiettivo) primitivo. Se questo gruppo lascia fissa una retta del piano stesso (è 

 dunque x^ o oc''), la varietà M3 si proietterà univocamente da questa retta in un 

 cono, sul quale a G corrisponderà ancora un gruppo proiettivo. 



Resterebbe a vedere cosa avviene quando sul piano tt viene subordinato da G 

 l'intero gruppo proiettivo oo»: ma questo caso si i^uò facilmente escludere (finché, 

 ben inteso, il piano stesso sia contenuto nello spazio S^ di ciascuna rigata qp). In- 

 fatti in questo caso il gruppo G opererebbe in modo ao'' sulla serie delle generatrici 

 di ciascuna rigata cp. e quindi sulla serie dei piani proiettanti queste generatrici 

 dalla direttrice rettilinea (f) contenuta in tt. Questa sei'ie di piani può dunque con- 

 siderarsi come una curva razionale normale nello spazio Z^_2 dei piani passanti per f 

 e contenuti nell' S,. della rigata 9; dal che si trae che un gruppo proiettivo, il quale 

 operi su di essa in modo oo», non può lasciar fisso nessun piano del sistema Ift_;. Ma 

 uno di questi piani, nelle nostre ipotesi, sarebbe appunto tt; siamo dunque caduti in 

 un assurdo, ed è perciò da escludersi che in tt venga subordinato l'intero gruppo oo*. 



30. — L'analisi fatta al n" prec. ci permette di concludere che tutti i gruppi 

 continui di trasformazioni cremoniane i quali lasciano fissa una stella di rette e 

 operano su di essa in modo primitivo, si riducono a uno dei tipi incontrati ai 

 n' 4 e 28, oppure sono equivalenti a gruppi proiettivi sopra coni (di prima specie, 

 a tre dimensioni). Di piìi, questi gruppi proiettivi dovranno tutti operare in modo 

 primitivo sui sistemi di oo^ generatrici dei coni medesimi. Questi sistemi di gene- 

 ratrici si potranno dunque considerare come superficie — ossia le sezioni iper- 

 piane dei coni stessi saranno superficie — con un gruppo continuo primitivo di 

 trasformazioni proiettive in sé. Si tratterà perciò di coni di ordine «-, appartenenti 

 a spazi di dimensione "-^ + 1 = '^l+D^LT^^ e aventi per sezioni iperpiane delle su- 

 perficie razionali rappresentanti il sistema lineare di tutte le curve piane algebriche 

 di ordine n ('). 



Un tal cono può rappresentarsi birazionalmente sullo spazio S3 , con un'opportuna 

 proiezione, in modo che alle oc- generatrici di esso corrispondano le rette di una 

 stella A, e alle sue sezioni iperpiane il sistema di tutte le superficie di ordine n 

 aventi nel punto A la multiplicità « — 1 e un dato cono tangente (di ordine n — 1), 

 il quale potrà anche spezzarsi comunque, senza dar luogo con ciò a casi fra loro 

 distinti. 



Il gruppo più ampio di trasformazioni proiettive sopra un tal cono f"", operando 



in modo x« sul sistema delle sue generatrici, dipenderà da - — ^ \- 9 parametri. Il 



(') Come trovasi dimostrato in una mia Nota, inserta nei ' Rend. del Circolo Mat. di Palermo , 

 (t. XI, 1898). 



