270 GINO FANO 50 



gruppo ad esso corrispondente in Sg coincide evidentemente col primo dei tre gruppi 

 tipici da noi incontrati al n° 9. 



In particolare, per n = 1 si ha il gruppo proiettivo oc'^ di S3 con un punto 

 fisso ; per n ^2 si ha uno dei gruppi di trasformazioni quadratiche considerati nella 

 comunicazione del sig. Noether. Per n qualunque, le trasformazioni che compongono 

 il gruppo sono state studiate nella Memoria del De Paolis da noi già cit. al n" G. 

 Riassumendo pertanto i risultati ottenuti in questo Gap. MI, diremo: 

 Ogtii gruppo contimio di trasformazioni cremoniane dello spazio, il quale trasformi 

 in sé una stella di rette e subot-dini in qyesta un gruppo primitivo, può ridursi bira- 

 zionalmente a uno dei seguenti tifi: 



1° Gruppo oo'i delle trasformazioni quadratiche che mutano in sé il sistema li- 

 neare 008 delle quadriche aventi a comìine una retta e un punto fuori di questa retta, 

 e suoi sottogruppi ; 



2° Gruppo oc* delle trasformazioni cubiche che mutano in sé il sistema lineare oc* 

 delle superficie del 3" ordine passanti per una cubica sghemba e aventi un punto doppio 

 fisso sopra questa cubica; 



3" Gruppo di dimensione L -f~9 delle trasformazioni di ordine n che mu- 



(»+l)(n+2) 

 tano in sé il sistema lineare ce 2 delle superficie di ordine n aventi un dato punto 



{n — 1)'''° e uno stesso cono tangente in questo punto, e suoi sottogruppi. 



Questi sottogruppi s'intendono naturalmente limitati a quelli che operano an- 

 cora in modo primitivo sulla stella di rette invariante. 



CAPITOLO VITI. 



Gruppi con una stella invariante di rette, 



entro la quale viene subordinato nn gruppo j^roiettivo <x^ 



trasformante in sé stesso un cono quadrico di rayyi della stella. 



31. — I gruppi di quest'ultima categoria si possono supporre transitivi, perchè, in 

 caso contrario, potendosi ridurre a gruppi trasformanti in se ogni piano di un certo 

 fascio, essi si sarebbero già presentati nei Gap. IV^-VI. — Di piìi, essi possono supporsi 

 non integrabili, e quindi almeno oc*. Se sono soltanto oo^ (e transitivi), dovranno ap- 

 partenere al caso ciclico (E F, § 21) al caso diedrico (E F, § 23). Del primo caso 

 abbiamo già determinato al n" 20 l'unico gruppo tipico (per un dato ordine); dei 

 gruppi cc3 diedrici (che rientrano tutti in quest'ultima categoria) ci occuperemo alla 

 fine del presente capitolo. Escluso questo caso, potremo dunque supporre che si 

 tratti di un gruppo (transitivo) almeno 00*, e contenente perciò un sottogruppo in- 

 variante almeno ooi, il quale lasci fisso ogni raggio della stella invariante. 



Costruiamo anche in questo caso un sistema lineare completo, semplice, di su- 

 perficie unisecanti i raggi della stella invariante, il quale sia trasformato in sé da 

 ogni operazione del gruppo proposto. Questo sistema rappresenterà una varietà nor- 

 male Ma di uno spazio S^, sulla quale al gruppo proposto corrisponderà un gruppo 



