51 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 271 



proiettivo G, e alla stella di rette invariante in S3 corrisponderà una congruenza di 

 rette a, traiettorie (fisse) per un sottogruppo invariante G' di G (almeno 00 1). 



Se questo gruppo G' subordina sopra ogni retta a tutte le possibili x^ proiet- 

 tività, se ne deduce (per quanto si è detto al n" 7) che vi sarà un fascio di super- 

 ficie (razionali) unisecanti le a invariante rispetto a G' stesso, e anche rispetto a G. 

 Il gruppo di cui trattasi sarà perciò equivalente a uno dei gruppi di trasformazioni 

 quadratiche incontrati al n" 4 (e piìi volte in seguito). 



Escluso anche questo caso, il gruppo G' dovrà certo lasciar fissi sopra ogni 

 retta a uno o due punti, luoghi dei quali saranno rispettivamente una due varietà 

 unisecanti le a (non una varietà unica bisecante le a, essendo queste rette traiet- 

 torie di almeno un gruppo ooi (')): queste varietà saranno pure invarianti rispetto 

 a G. Esse non saranno tuttavia curve, perchè se no le a si ripartirebbero in un fascio 

 invariante di coni, mentre non deve essere invariante alcun fascio (sistema coi (j-ju- 

 dice uno) di rigate appartenenti alla loro congruenza. E se una di quelle varietà 

 si riduce a un punto, la H3 viene ad essere un cono; caso già esaminato al n" 9. 

 Potremo dunque supporre che quelle varietà unisecanti le a siano delle superficie. 



33. — Supponiamo che il gruppo G ammetta due diverse superficie invarianti 

 (qp, 9') unisecanti le «; i punti di queste superficie saranno allora punti uniti fissi 

 per ogni operazione contenuta in G'. Queste stesse superficie dovranno perciò appar- 

 tenere rispettivamente a due spazi minori indipendenti S^ e Sr_;,_i entro S, ; e su 

 ciascuna di esse il gruppo totale G subordinerà un gruppo proiettivo equivalente (a 

 quello subordinato nella congruenza delle a, ossia) a un gruppo co^ di omografie piane 

 con una conica fissa. Ora, essendosi supposta normale la varietà M;,, saranno pure, 

 normali le due superficie cp, <p'; è infatti completo il sistema lineare delle rigate 

 intersezioni residue di Mj cogli S,_i passanti ad es. per qp, e completo quindi sopra 9' 

 il sistema lineare di curvo segatovi da queste rigate (-), il quale si compone appunto 

 delle sezioni iperpiane di cp' stessa. Ciascuna di queste due superficie si potrà quindi 

 rappresentare sul piano con un sistema lineare completo di curve di un certo ordine n, 

 il quale sia mutato in sé stesso da tutte le omografie che lasciano fissa una certa 

 conica. Questo sistema non potrà pertanto avere alcun punto base (non avendo le 

 dette omografie nessun punto unito fisso), e dovrà perciò comporsi di tutte le curve 

 piane aventi quel dato ordine n. Le 9 e qp' saranno dunque superficie F"" di spazi 

 S„ („+;-); e la varietà IU3 potrà considerarsi come generata da una corrispondenza proiet- 

 tiva tra due superficie di questo tipo, poste in spazi indipendenti; le rette « sareb- 

 bero le congiungenti delle coppie di punti omologhi in questa proiettività. 



D'altra parte è evidente che ogni varietà cosi costruita ammette un gruppo 

 almeno x'-' di trasformazioni proiettive, il quale opera in modo co^ (e come un 

 gruppo primitivo) sulla congruenza delle a e sulle superficie qp e 9'. I gruppi che 



(') Cfr. EF, § 7. 



(') Poiché cp' (e così pure (p) è riferita birazional mente alla congruenza delle a. colla quale si 

 trova, in certo qual modo, in posizione prospettiva. 



