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così si ottengono rientrano dunque come sottogruppi in quelli già incontrati al 

 Gap. VII. 



33. — Rimane a vedere cosa avviene quando il gruppo G lascia fissa una sola 

 superficie cp unisecante le a. — Stacchiamo allora da G un sottogruppo semplice cc^ 

 (certo esistente) H: esso dovrà operare sulla congruenza delle a in modo anche ce' 

 (ossia come G medesimo). Dico che H deve trasformare in se anche una seconda su- 

 perficie qj unisecante le a. Infatti le co^ operazioni di H che mutano in se una retta a 

 generica lasciano certo fisso (trattandosi di un sottogruppo oci non parabolico di un 

 gruppo semplice cc'^) anche (almeno) un secondo punto di a — distinto da quello che 

 sta su qp — ; e questo punto, variando la retta a, descrive la superficie richiesta v. (Se 

 risultassero contemporaneamente uniti tutti i punti di a, si avrebbero x' superficie 

 così fatte). — Applichiamo ora a questa superficie xv tutte le operazioni di G, e 

 consideriamo il minimo sistema lineare Z (certo invariante, e di dimensione >0) con- 

 tenente le superficie così ottenute. Se questo sistema è un fascio, ricadiamo nel caso 

 del n" 4. D'altra parte I. non può essere una rete, o, piìi generalmente, un sistema 

 lineare appartenente a una congruenza di curve (invariante, del 1° ordine), perchè 

 allora le rette « che si appoggiano a una di queste curve dovrebbero incontrare 

 anche le coi curve trasformate della prima mediante G' (i); e le oo^ rette a si distri- 

 buirebbero così in ooi rigate formanti un fascio invariante (rispetto a G), il che è 

 contro r ipotesi. Infine il sistema Z (ove non sia un fascio) è certamente semplice ; 

 se no esso apparterrebbe a un' involuzione invariante, nella quale ai punti di un 

 raggio a, certo invariante rispetto a G', non potrebbero essere coniugati che i punti 

 di (uno o più) altri raggi a : il che è da escludersi, non essendovi involuzioni inva- 

 rianti entro la congruenza delle stesse a. 



Possiamo dunque ridurci a un gruppo proiettivo sopra una nuova varietà n'j, 

 le cui sezioni iperpiane corrispondano alle superficie del sistema Z. Allora ogni sot- 

 togruppo H lascerà fissa una sezione iperpiana di questa varietà, e perciò ancora 

 un punto fuori di questo iperpiano; dal che si trae facilmente che la varietà n'3 è 

 un cono col vertice in quest'ultimo punto, il quale sarà perciò invariante rispetto 

 all'intero gruppo G (se no vi sarebbe ancora una superficie fissa cp' unisecante le a, 

 sulla quale i diversi sottogruppi H dovrebbero subordinare uno stesso gruppo oc^, 

 mentre d'altra parte questo gruppo cc^ dovrebbe lasciarvi fissa una sezione iperpiana 

 variabile con H). 



Concludiamo pertanto: I soli gruppi essenzialmente titiotfi di questo Cap. Vili (che 

 non rientrano cioè in casi già noti) sono i t/ruppi 00^ del tipo diedrico. 



Gruppi oo3, setnplici, transitici, del tipo diedrico. 



34. — È noto (E F, § 23) che i gruppi cremoniani oo^, semplici, transitivi, del 

 tipo diedrico — tali cioè che le operazioni di essi che lasciano fermo un punto ge- 

 nerico dello .spazio formino un gruppo finito diedrico di un certo ordine 2« — sono 



(') Sottogruppo doppiamente intransitivo, avente le « per traiettorie fisse. 



