53 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 273 



birazionalmente equivalenti, per n>'2, al gruppo oo^ di tutte le trasformazioni proiet- 

 tive sulla varietà luogo delle corde di una C razionale normale. 



I gruppi tipici ai quali essi possono ridursi (per n > 2) risulteranno pertanto 

 da una qualunque rappresentazione spaziale di questa varietà (ns). Possiamo anzi 

 supporre n > 3, perchè per n = 3 la varietà H3 è lo stesso spazio S3 , e si ha come 

 tipo il gruppo proiettivo oo-' con una cubica fissa. 



Proiettiamo perciò la curva C" e la varietà ^3 delle sue corde da uno spazio 

 (I,._4) [n — 3) -secante rispetto alla curva stessa; la C" si proietterà secondo una cu- 

 bica sghemba (r) di uno spazio S3, e la varietà Hg si proietterà univocamente sopra 

 questo spazio, in modo che alle sue e»- rette (corde della C") corrispondano le corde 

 di questa cubica. 



Poiché la varietà Hs è di ordine - — '^ , e Io spazio Z„_, la incontra secondo 



"~ '^'~ rette, cosi le sue sezioni iperpiane si proietteranno in superficie di ordine 



n — !.!( — 2 n — 3. «^4 



= 2n 



Queste superficie conterranno la cubica t come curva multipla di ordine ìi — 3 

 (poiché lo spazio S„_3 che da Z„_, proietta un punto qualunque di C" contiene altre 

 n — 3 rette di Mg) , e ammetteranno nei singoli punti di questa curva n — 3 piani 

 tangenti fissi, passanti rispettivamente per quei punti P. P^ ... P„_3 di t che cor- 

 rispondono alle intersezioni di C" collo spazio T„_i. Infine le superficie F conter- 

 ranno ancora le - — i^ — rette che congiungono questi punti P. a due a due; rette 



che sono immagini degli spazi S3 tangenti a ^3 lungo le rette di essa contenute in Z„_4. 



Queste condizioni individuano completamente il sistema lineare 00" rappresenta- 

 tivo di M3 . 



Concludiamo pertanto: 



I gruppi cremoniani, transitivi, semplici; co^ corrispondenti al caso diedrico di un 

 certo ordine 2n{n>2) si riducono birazionalmente al gruppo oo^ delle trasformazioni di 

 ordine 2n — .5 che mutano in sé stesso il siste7na lineare co" delle superficie di ordine 

 2n — 5 che soddisfanno alle condizioni seguenti : 



1° Hanno una data cubica sghemba come curva {n — 3)^'''; 



2" Toccano in ogni punto di questa cubica gli n — 3 piani ivi tangenti ad essa 

 e proiettanti rispettivamente n — 3 punti fissi della curva medesima; 



3° Contengono le - — ~ — rette che congiungono questi n — 3 punti a due a due. 



Queste trasformazioni mutano in se stessa la congruenza delle corde della cu- 

 bica considerata, e operano su di essa e sulla cubica come le co^ trasformazioni 

 proiettive di questa curva in sé stessa. Assegnando ad arbitrio una di queste proiet- 

 tività sulla cubica, risulta già determinata la trasformazione corrispondente nella con- 

 gruenza delle corde, e anche una trasformazione del nostro gruppo di ordine 2w — 5 

 in S3, perchè di ogni superficie del sistema lineare invariante risulta individuata la 

 corrispondente mediante il sistema delle corde (variabili) della cubica ch'essa deve 

 contenere. 



Sekie n. Tom. XLYIIl. j' 



