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GINO FANO 



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Questo gruppo oo^ e il relativo sistema lineare invariante si possono rappresen- 

 tare analiticamente in modo analogo a quanto si è fatto in E F, § 27 per il gruppo 

 co 3 icosaedrico. — Rappresentata una C di S„ colle equazioni: 



Xq Xi X2 

 Xi X2 X3 



Xn 



= 



si vede facilmente che la varietà delle sue corde sarà rappresentata dall'annullarsi 

 di tutti i determinanti di 3° ordine estratti dalla matrice: 



Xq Xi 3*2 ... 2;„_2 

 a^i ^2 a's ... Xn—i 

 X2 x^ x^ . . . Xn 



(0 



Infatti le coordinate di un punto generico di questa varietà di corde possono espri- 

 mersi ponendo .r^ = X"~' + A;|u"~' (dove X, n, k sono parametri indipendenti) ; e allora 

 vanno appunto a zero tutti i determinanti di 3° ordine estratti dall'ultima matiice. 



D'altra pai-te l'ordine di quella stessa varietà vale ("^ ) , e coincide quindi coll'or- 

 dine della varietà, pure a tre dimensioni, rappresentata dall'annullarsi dei determi- 

 nanti considerati (^). 



Ponendo per brevità: 



X,, : 



•''1—1 ^t— 1 

 X, .Tt 



il determinante di 3° ordine formato colle verticali di posto /; — 3 , h — 2, h — 1 , 

 sviluppato secondo gli elementi dell'ultima orizzontale ed eguagliato a zero, dà la 

 relazione : 



.'Ca_2 Xft_2,jj_i 4" Xh-\^h-\,h-ì ~r •'^h^h-ì,h-2 0. 



(1) 



D'altra parte l'annullarsi di tutti questi determinanti di 3° ordine conduce a 

 stabilire, fra i subdeterminanti X, delle relazioni di proporzionalità, le quali possono 

 compendiarsi scrivendo che il rapporto X^,,.: X^+i^ i+i = p ha un valore costante (in- 

 dipendente cioè dai due indici i, k). L'equazione (1), moltiplicata per p''~*, equivale 

 perciò a quest'altra: 



(') Questa stessa sarà perciò anche la condizione, perchè la forma binaria .r" (con ooefficienti 

 binomiali) possa ridursi al tipo z'\ + z\ (somma di due potenze «sim«). 



(') Cfr. ad es. Pieri, Sull'ordine della varietà generata da più sistemi lineari omografici (' Rend. 

 di Palermo ,, t. XI, 1897). 



