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35. — Da queste considerazioni rimane però escluso il caso n^2; il caso cioè 

 dei gruppi equivalenti al gruppo proiettivo cb^ della varietà M' di S4 rappresentata 

 dsU'equazione: 



dove i, j sono i soliti invarianti di una forma binaria biquadratica (^). Bisognerebbe 

 quindi assegnare anche per questa varietà una rappresentazione spaziale. 



Preferiamo tuttavia (per giungere a un risultato piii semplice) dare dell' intera 

 categoria dei gruppi oo^ diedrici una nuova trattazione, dalla quale non rimarrà più 

 esclusa l' ipotesi « = 2 (mentre per n>2 si ritroveranno gli stessi gruppi tipici 

 di poc'anzi). 



Ogni gruppo OD-' diedrico, potendo ridursi a un gruppo cremoniano trasformante 

 in se una stella di rette, sarà pure equivalente a un gruppo proiettivo G sopra una 

 varietà pa di un certo spazio S,, contenente una congruenza (invariante, del 1° or- 

 dine) di rette a. 



Su questa congruenza il gruppo G opererà ancora come un gruppo x» di omo- 

 grafie piane con una conica fissa ; e su ogni retta a imposta come fissa dovrà essere 

 invariante una coppia di punti, fi-a loro permutabili (come risulta anche dalle con- 

 sideraziop' esposte in E F, § 23). Luogo di questi punti sarà una varietà (irriduci- 

 bile) bisecante le a, e invariante rispetto a 6. — Abbiamo teste esaminato il 

 caso in cui questa varietà fosse una curva (necessariamente razionale, normale), e 

 le a le oo^ corde di questa curva. Supponiamo ora invece che questa varietà sia 

 una superficie cp (la quale può ritenersi normale) : saremo così sicuri di comprendere 

 ogni altro caso di gruppo diedrico. 



Su questa superficie le rette a segheranno un* involuzione quadratica inva- 

 riante, sulla quale G dovrà operare come sulla congruenza delle a stesse. Di qui si 



trae che: 



Il gruppo subordinato da G sulla superficie qp è equivalente al gruppo proiettivo co^ 

 di una quadrica non degenere di S3 sulla quale si sia fissata una conica. 



Ai due sistemi di generatrici di questa quadrica corrisponderanno su cp due fasci 

 di curve (razionali normali) aventi rispett. certi ordini m, n. Alla conica fissa corrispon- 

 derà allora una curva di ordine ni-\-n ; e qp stessa sarà una superficie di ordine 2mn, 

 appartenente a uno spazio di dimensione inn-\-m+n (-)• Nell'involuzione quadratica 

 invariante sopra cp ad ogni curva C" è coniugata una C", e inversamente; e sulla 

 varietà lig queste coppie di curve determineranno un sistema invariante co', d'in- 

 dice due, di rigate R"""' '"^ aventi rette a per generatrici. 



Ciò premesso, riesce facile il vedere in qual modo il gruppo G operi sopra p». 

 Fissato su Ma un punto generico A, e quindi la retta a che lo contiene, resterà an- 

 cora un gruppo finito diedrico di un certo ordine 2h (non escluso il caso /.; = 1) 

 trasformante in se la coppia di rigate R'"+"-' passanti per questa retta a ; e vi 

 sarà quindi un gruppo ciclico di ordine h trasformante in se ciascuna di quelle 



{') EF, § 23. 



E rappresentabile sul piano col sistema lineare delle curve di ordine m + « aventi a comune 

 un punto mP'° e un punto «?'". 



