57 I GRUPPI DI JONQCJÉRES GENERALIZZATI 277 



due rigate, e ciascun punto della retta a comune ad esse (ossia passante per A). 

 — E poiché ogni operazione di G la quale lasci fisso ciascun punto di una ri- 

 gata R""-*-"-! lascia anche fisso ogni punto di (p e quindi ogp' punto di ILI3 , cosi 

 siamo ricondotti a cercare di qual ordine ìc sia il gruppo finito ciclico che si ha 

 sopra una R""*"""', quando se ne impongano come fisse le due direttrici C" e C" ap- 

 partenenti a q) (e aventi un punto A a comune), e tutti i punti di una generatrice a 

 (arbitraria). 



Osserviamo che si può ritenere m H= n, perchè se no le oo^ rigate R°'+"-' = R'"~' 

 ammetterebbero rispett. come direttrici minime altrettante curve di ordine ti — 1 non 

 contenute in cp, e aventi per luogo una nuova superficie invariante rispetto a G; sicché 

 il gruppo continuo 00^ che lascia fisso un raggio a ne lascerebbe anche fissi almeno 

 tre, e quindi tutti i punti, e il gruppo G sarebbe perciò intransitivo rispetto a 1Ì3, 

 contro l'ipotesi. 



Supposto pertanto m>n, possiamo ancora escludere il caso m = n-\-\, perchè 

 la rigata R"'+"-' = R-" conterrebbe allora infinite direttrici (minime) di ordine n, e 

 ogni trasformazione proiettiva su di essa la quale lasciasse fissa una direttrice 

 C" = C'"^' e tutti i punti di una data generatrice muterebbe in sé anche ciascuna 

 delle direttrici C, quindi ogni punto della C""*"' fissa nonché ogni generatrice, e si 

 ridurrebbe perciò alla trasformazione identica. Si avrebbe quindi /i;=:l, vale a dire 

 il gruppo G sarebbe soltanto ciclico (di ordine due). 



Sia dunque ?n>w + l. Allora ogni curva C" sopra qp sarà direttrice minima 

 unica di una rigata R'"+"~'; e le direttrici di questa rigata di ordine immediatamente 

 superiore avranno l'ordine m — 1 e formeranno un sistema lineare di dimensione m — n 

 (> 2) e di grado m — n — 1. Questo sistema lineare rappresenta un cono razionale 

 normale p'"""' di uno spazio S,„_„, riferibile alla rigata R""*"-! in modo che si cor- 

 rispondano le rispettive trasformazioni proiettive. E poiché alla direttrice C" interse- 

 zione residua di R"'+"-' con cp corrisponde su f""""' una curva razionale normale 

 di ordine m — n passante pel vertice di T stesso, cosi siamo condotti a vedere di 

 qual ordine h sia il gruppo proiettivo ciclico che si ha su F (ossia nel relativo spazio 

 S„._„) imponendo come fissa una tal curva di ordine m — ne tutti i punti di una 

 generatrice arbitraria di V stesso (ossia di una corda di questa curva). Ed è noto 

 (e fu già osservato in E F, § 23) che si ha k = m — n. 



Concludiamo pertanto: Le operazioni del grtippo G che lasciano fisso un punto 

 generico della varietà Hg formano un gruppo diedrico di ordine 2(»« — n) (essendo 

 m > M-)-2). 



D'altra parte i gruppi cremoniani co^, semplici, transitivi, corrispondenti al caso 

 diedrico di uno stesso ordine sono tutti fra loro equivalenti. Essendo pertanto es- 

 senziale la sola differenza m — n, si avranno già tutti i casi possibili supponendo 

 w^=l, »H>3; assumendo cioè come superficie cp una rigata razionale normale di or- 

 dine 2»i con col direttrici minime di ordine m. 



Il gruppo proiettivo oc^ sulla corrispondente varietà fJs sarà un gruppo diedrico 

 di ordine 2 [m — 1). 



36. — Per m > 4 la rigata qp""" e la corrispondente varietà 1U3 possono proiet- 

 tarsi dallo spazio S„,+i della direttrice C""*"' contenuta in cp su di uno spazio Sm_i. 



