278 GINO FANO — I GRUPPI DI JONQUlÈRES GENERALIZZATI 58 



Le generatrici di cp si proietteranno rispettivamente nei punti di una curva {razio- 

 nale normale) di ordine »« — 1 appartenente a quest'ultimo spazio, e le co^ rette 

 della varietà IÌ3, che sono corde di 4>, si proietteranno secondo le cc^ corde di questa 

 curva: la varietà stessa si proietterà perciò univocamente nella varietà luogo di 

 queste corde. — Ritroviamo così gli stessi tipi di poc'anzi, perchè alle trasforma- 

 zioni proiettive di Ms corrispondono trasformazioni anche proiettive sulla nuova va- 

 rietà (proiezione). E rimane pure confermato l'ordine 2 (»« — !) del gruppo diedrico. 

 Ma per m = 3 questa proiezione non è piìi effettuabile. La superficie cp è allora 

 una rigata razionale normale del 6» ordine (in S,) con coi direttrici cubiche. Dico 

 che la varietà \Xi coincide in questo caso colla varietà MI a [curve) sezioni ellittiche da 

 noi considerate alla fitte del n° 28. 



Ricordiamo infatti che questa M^ ammette un gruppo continuo co« di trasfor- 

 mazioni proiettive , isomorfo al gruppo totale delle omografie piane. Stacchiamo 

 pertanto da quel gruppo un sottogruppo oo^, corrispondente (nell'accennato isomor- 

 fismo) al gruppo delle omografie piane che lasciano fissa una data conica. Questo 

 sottogruppo lascerà fissa sulla M", entro ciascuna delle sue congruenze (invarianti) 

 di rette, una rigata sestica , contenente ai» direttrici cubiche, e bisecante le rette 

 dell'altra congruenza. A questo gruppo oo», semplice, transitivo, trasformante in se 

 (in due modi diversi) una congruenza di rette e una superficie (irriducibile) bisecante 

 queste rette, sarà applicabile l'intero ragionamento del n° prec. (per « = 1, m — 8), 

 e ciò porta a concludere che siamo appunto nel caso diedrico per /.; = 2. 



Le equazioni di questo gruppo oo^ si ottengono facilmente da quelle del n" 28, 

 sostituendo alle a„ b,, e, espressioni opportune mediante tre parametri (0 quattro 

 omogenei). 



Diremo perciò: I gruppi oo^, semplici^ transitivi, del tipo diedrico n = 2 (quelli 

 cioè che sfuggono alla trattazione del n° 34) si riducono birazionalmente a un deter- 

 minato sottogruppo del gruppo 00» di trasformazioni cubiche da noi incontrato al n" 28 

 (sottogruppo definito dal trasformare in se un cono quadrico appartenente alla stella 

 invariante di rette). 



I gruppi cc3 del tipo diedrico di ordine 2« si possono dunque ridurre, per w>3, 

 a gruppi di trasformazioni di ordine 2m— 5 trasformanti in se la congruenza delle 

 corde di una cubica sghemba; e per h = 2 a un gruppo di trasformazioni cubiche 

 trasformante in se un'analoga congruenza, nonché una stella di rette avente il centro 

 in un punto della cubica considerata. 



Roma, marzo 1898. 



