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delle categorie a), h), e). Per le prime due categorie, la questione è relativamente 

 semplice, trattandosi soltanto di trovare tutti i sottogruppi contenuti in un gruppo 

 ben determinato, rispett. coi5 q qo^o^ ^q\ quale è nota in ambo i casi la composi- 

 zione. Si aggiunga che, fra i vari gruppi (tipici) proiettivi e conformi, noi possiamo 

 limitarci a considerare quelli primitivi, potendosi gli altri (imprimitivi) far rientrare 

 nella categoria o) — ad eccezione del gruppo conforme oo^ del tipo tetraedrico — . 

 E questi gruppi primitivi, sia proiettivi che conformi, furono teste assegnati nella 

 mia Nota: " / <)i'upp' continui primitivi di trasformazioni cremoniane dello spazio „ ('), 

 indipendentemente anche dal risultato che, insieme al Sig. Enriques, avevo già ot- 

 tenuto. 



Rimangono perciò a determinarsi soltanto i tipi hirazionalmente distinti di gruppi 

 di Jonquières generalizzati. La determinazione di essi (o almeno dei gruppi tipici 

 " completi „, nei quali tutti gli altri risultano contenuti come sottogruppi) è appunto 

 oggetto della presente Memoria. 



Noi dimostreremo precisamente che Ogni gruppo continuo di trasformazioni cre- 

 moniane dello spazio il quale muti in sé stesso un fascio di piani si può ridurre bira- 

 zionalmente a uno dei gruppi tipici seguenti (o a un loro sottogruppo) {^): 



1°, 2°, 3° Gruppi che trasformano in sé un fascio di piani e una stella dirette, 

 i cui sostegni (asse e centro) non si appartengono, e che possono perciò generarsi com- 

 ponendo un gruppo dì trasformazioni proiettive di quel fascio con tm gruppo cremoniano 

 di questa stella (considerata come forma fondamentale di 2-'' specie). Si hanno tre di- 

 versi gruppi tipici completi (rispett. coH, ce», co""^', dove n è numero intero qual- 

 siasi, e composti di trasformazioni rispett. quadratiche, cubiche, e di ordine ??), secondo 

 che il gruppo cremoniano subordinato nella stella invariante è equivalente a un 

 gruppo di trasformazioni proiettive, di trasformazioni quadratiche, o di trasformazioni 

 di Jonquières di ordine n — 1; 



4», 5°, 6° Gruppi di trasformazioni di un certo ordine n che mutano in sé stesso un 

 sistema lineare di superficie [monoidi) di ordine n, aventi a' comune un punto (w— l)""'" 

 col relativo cono tangente {di ordine h — 1) e, eventualmente, altri elementi ancora. Questi 

 gruppi sono equivalenti a gruppi proiettivi sopra coni a tre dimensioni di prima specie; 

 proprietà che ne rende facile la costruzione. Essi trasformano in se in ogni caso la 

 stella delle rette uscenti dal punto base («—1)"'° del sistema lineare invariante: e 

 possono trasformare in se uno più fasci di piani appartenenti a questa stella, ov- 

 vero anche un fascio di superficie che non vi appartiene (ma che è trasformabile 

 hirazionalmente in un fascio di piani; cfr. n" U). Anche in questo caso si hanno /re 

 diversi tipi di gruppi completi, corrispondentemente ai diversi gruppi che possono 

 venir subordinati nella stella di rette invariante; 



7» Gruppo 03-"+" delle trasformazioni di ordine n che mutano in sé stesso il si- 

 stema lineare oo"+' dei coni di ordine n aventi una data generatrice («—1)'''^ — asse 

 di un fascio di piani invariante — e gli stessi w— 1 2»cni tangenti lungo questa genera- 

 trice (potendo il vertice variare comunque sulla detta generatrice). Questo gruppo è 



(') " Atti della R. Acc. di Torino „ voi. XXXIII; 1898. 



(^) E poiché, come vedremo al n. 9, ogni gruppo integrabile è riducibile a uno dei tipi 4", S», 6". 

 così per tutti gli altri gnippi tipici potremo limitarci alla considerazione dei sottogruppi non integrabili. 



