3 I GRUPPI DI JOXQCÈRES GENERALIZZATI 223 



equivalente al gruppo di tutte le trasformazioni proiettive sopra un cono razionale nor- 

 male di 2^^ specie di ordine n; 



8" Gruppo 00 ' delle trasformazioni di un certo ordine m -j- w — 1 che mutano 

 in sé il sistema lineare 00""^"+' delle superficie di ordine m -\- n — 1 aventi due date 

 rette sghembe — assi entrambe di fasci di piani invarianti — come multiple di ordini 

 rispett. m — \ e n — 1, e gli Mesd m — 1 e rispett. n — • 1 piani tangenti lungo queste 

 rette. Per queste stesse trasformazioni risulta invariante la congruenza lineare di rette 

 avente le due rette nominate per direttrici. Questo gruppo è equivalente al grtippo di 

 tutte le trasformazioni proiettive sulla varietà luogo delle rette che si appoggiano a due 

 curve razionali normali di ordini m, n, contenute in spazi indipendenti; 



9° Gruppo di dimensioni p ("t") — » + i* + -^ delle trasformazioni di ordine np 

 che mutano in sé un sistema lineare di superficie di ordine np con un dato punto 

 (np — IjP'", una retta {np — nY^"" passante per questo punto, e p — 1 rette /»?'* infinita- 

 mente vicine alla precedente; sistema die verrà definito completamente al n° 26. Ri- 

 spetto a questo gruppo sono invarianti la stella di rette avente il centro nel punto 

 {np — ly^", e il fascio di piani avente per asse la retta {np — w)»'* del sistema lineare 

 nominato; in quella stella viene subordinato Un gruppo di .Jonquières di ordine p, in 

 ciascun piano di questo fascio un gruppo di Jonquières di ordine n; 



10" Gruppo ca^, semplice, intransitivo, delle trasformazioni di ordine n che lasciano 

 fisso ogni piano di un dato fascio, e mutano pure in sé stesso il sistema lineare 00"+- 

 delle superficie di ordine n aventi la retta asse di quel fascio come multipla di ordine 

 n — 2, gli stessi n — 2 piani tangenti fissi lungo questa retta, e passanti ancora per 

 una data curva piana di ordine n. Sopra ogni piano del fascio invariante questo si- 

 stema lineare sega il sistema (che sarà pure invariante) delle coniche passanti per 

 due punti fissi. 



Fra questi gruppi, soltanto il 7° e il 10° non trasformano in se nessuna stella di 

 rette (o una congruenza equivalente). Gli altri compariranno perciò tutti eli nuovo 

 nell'enumerazione dei gruppi tipici con una stella di rette invariante. Ecco per- 

 tanto il risultato relativo a questi ultimi gruppi fil quale, insieme al precedente, 

 completa la classificazione dei gruppi di Jonquières generalizzati) : 



Ogni gruppo continuo di trasformazioni cremoniane dello spazio il quale muti in 

 sé stessa una stella di rette può ridursi birazional mente a uno dei gruppi tipici testé 

 enumerati — esclusi soltanto il 7° e il 10° — e loro sottogruppi, oppure a uno dei gruppi 

 seguenti (senza che per questi occorra tener conto anche dei sottogruppi): 



11" Gruppo 00* delle trasformazioni cubiche che mutano in sé stesso il sistema 

 lineare 00^ {di grado 6) delle superficie di 3° ordine aventi un dato punto doppio — 

 centro di una stella di rette invariante — e passanti ancora per una cubica sghemba 

 che contiene questo punto. Questo gruppo subordina nella stella invariante il gruppo 

 proiettivo totale co* di questa stessa forma; 



12° Gruppi tipici 00^, semplici, transitivi, corrispondenti al caso diedrico di un 

 ordine qualsiasi 2» (tali cioè che le operazioni che lasciano fisso un punto generico dello 

 spazio formino un gruppo finito diedrico di ordine 2« — essendo m ^ 2 — ; cfr. EF, 

 § 2.3). Questi gruppi tipici sono: 



per n^2, il sottogruppo 00* del precedente gruppo co* ottenuto coli' imporre 

 come fisso un cono quadrico di rette della stella invariante; 



