418 IL PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



dalla superficie conica e dal cenhio dato ; il punto fisso è vertice tanto della super- 

 ficie quanto del cono e la congiungente il vertice col centro della base ne è l'asse; 

 secondochè l'asse è perpendicolare o obliquo alia base, il cono si dice retto o obliquo. 

 Dopo avere date queste nozioni nelle prime dieci definizioni, Apollonio, nelle otto suc- 

 cessive, passa dallo spazio al piano e fa conoscere che cosa si debba intendere per 

 diametri, vertici, diametri conjugati, assi e assi conjugati di una curva piana o 

 del sistema di due curve. La distinzione ora fatta in due gruppi delle r/c/??; ;> /oh/ jjr/)?(« 

 del I Libro può farsi anche riguardo alle proposizioni contenute nella parte prima 

 del libro stesso; le une sono planimetriche, stereometriche le altre. Comincia Apol- 

 lonio dal dimostrare (prop. 1) che ogni retta passante pel vertice di una superficie 

 conica e per un punto di essa vi appartiene completamente, mentre (prop. 2) quella 

 che congiunge due punti di una stessa falda della superficie si trova tutta nell'in- 

 terno di essa. Si volge poi alle sezioni di un cono e, seguendo il costume degli antichi, 

 si occupa anzitutto di alcune sezioni particolari, vale a dire a quelle i cui piani pas- 

 sano per il vertice (prop. 3), a quelle i cui piani "sono paralleli alla base (prop. 4) 

 e infine quelle (J-svavr/ai) — esistenti soltanto in coni obliqui — che, senza avere questa 

 particolarità, condividono colle sezioni ultime nominate la proprietà di essere circolari 

 (prop. 5). Il teorema successivo insegna che un piano condotto per l'asse di un cono 

 biseca tutte le corde dello stesso che sono parallele a ima retta condotta nel piano 

 della base perpendicolarmente alla traccia su di esso del piano secante. Ad essa tien 

 dietro \3. prima proposisionc generale sulle coniche, vale a dire che se s'imagina di 

 segare il cono, non solo con un piano per l'asse, ma anche con un piano non passante 

 pel vertice e la cui traccia sul piano della base sia perpendicolare alla traccia del- 

 l'anzidetto piano segante, si ottiene una curva tale che tutte le sue corde parallele 

 alla traccia del suo piano sono bisecate dall'intersezione dei due piani considerati; 

 se il cono è retto, e soltanto allora, le corde sono perpendicolari a quest'intersezione. 

 Nella prop. 8 Apollonio mostra come si possa secare un cono in guisa da ottenere 

 una curva estendentesi all'infinito, mentre nella successiva mostra come se ne possa 

 ottenere una che, senza essere un circolo, sia però finita. Passando sopra la prop. 10, 

 che è di lieve momento, ci arresteremo sulle tre successive, le quali conducono, coi 

 metodi dell'Algebra geometrica, alla proprietà fondamentale già citata di una conica 

 che equivale all'equazione cartesiana della curva rispetto a un diametro e la tangente 

 in un suo estremo; la loro importanza è manifesta quando si pensi che esse permet- 

 tono di studiare le coniche nel piano. Apollonio aggiunge a queste proposizioni le 

 definizioni di parabola, iperbola, ellisse, nonché quelle di lato retto {òo$ia) e lato 

 trasverso (n),ayicz) ; bisogna però badare che per iperbola egli intende uno solo dei 

 due rami infiniti della curva che è nostro costume indicare con questo nome, perchè 

 ai due rami d'un' iperbola considerati insieme dà il nome di sezioni opposte; osser- 

 viamo eziandio ciie nella prop. 14 egli li considera separatamente (dimostrando che 

 hanno lo stesso lato retto e lo stesso lato trasverso), mentre nella 16 li tratta come 

 costituenti un tutto. Chiudiamo il cenno su questa parte del I Libro rilevando la 

 prop. 1 5 ove si dimostra che l'equazione di un ellisse conserva la stessa forma se 

 a un diametro e alle ordinate relative si sostituisce il diametro coniugato e le cor- 

 rispondenti ordinate. 



