SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 419 



6. Alla seconda parte del I Libro preludono le definizioni di centro d'un'ellisse, 

 d'un' iperbola o di due sezioni opposte e di diametro coniugato ad un dato. Le prime 

 15 proposizioni creila parte stessa, ad eccezione di due che ci occuperanno fra un 

 momento, si riferiscono alle intersezioni e ai contatti di rette con sezioni coniche; 

 non le riportiamo per esteso perchè non possiedono un grande interesse intrinseco, 

 ma hanno però la loro ragione di essere nella necessità in cui si è di far puntello 

 di èsse onde stabilire con pieno rigore altre verità. Le due proposizioni escluse sono 

 corollari dell'anzidetta proprietà fondamentale , esprimono due interessanti proprietà 

 di una conica e trovano applicazione nella dimostrazione delle altre tredici (1). 



Dalle prop. 32-36 si impara a costruire la tangente in un punto qualunque 

 di una conica nella quale sia segnato un diametro; il procedimento indicato poggia 

 su una proprietà che, in linguaggio moderno, si enuncia così : « se da un punto di una 

 conica si conduce l'ordinata corrispondente a un dato diametro e si trova il coniugato 

 armonico del suo piede rispetto agli estremi di quel diametro, si otterrà l' intersezione 

 di questo colla tangente cercata » '. Alla tangente si riferiscono pure le quattro propo- 

 sizioni seguenti giacciiè insegnano delle relazioni che intercedono fra segmenti aventi 

 per estremi la traccia su un diametro di una tangente a un'ellisse o un' iperbola, il 

 piede dell'ordinata condotta dal punto di contatto e il centro. La prop. 41 è una 

 interpretazione geometrica dell'equazione cartesiana di una conica a centro e suona così: 



« Se in un' iperbola in un'ellisse si conduce un'ordinata, e si costruiscono sul- 

 l'ordinata e sul corrispondente semidiametro due parallelogrammi equiangoli colla 

 condizione che l'ordinata abbia coll'altro lato del parallelogrammo costruito su di essa 

 un rapporto composto del rapporto del semidiametro all'altro lato del parallelogrammo 

 costruito su di esso e del rapporto del lato retto al lato trasverso, e poi si costruisce 

 sul segmento del diametro compreso fra il centro e l'ordinata un parallelogrammo 

 simile a quello costruito sul semidiametro ; allora il parallelogrammo costruito sul 

 semidiametro è eguale alla somma, se la curva è ellittica, o alla diflferenza, se è iper- 

 bolica, degli altri due ». 



Le prep. 42-45 concernono una proprietà metrica di una conica o di due sezioni 

 opposte, clie nasce dalla considerazione di un punto della curva, la tangente e l'or- 

 dinata corrispondenti, e le parallele condotte a queste da un altro punto della curva; 

 le tre successive si riferiscono ai diametri; finalmente dalle 49-51 si rileva che l'e- 

 quazione di una conica o di due sezioni opposte conserva la stessa forma qualunque 

 sia il diametro alla quale si riferisce, e s' impara a passare dall'equazione rispetto a 

 un diametro all'equazione rispetto a un altro. 



I teoremi del I Libro danno il mezzo per risolvere i cinque problemi che coro- 

 nano il libro stesso, la scopo dei quali — secondo il più profondo conoscitore moderno 



(1) Kccone gli enunciati : 



Prop. 20. I quadrati di due ordinate di una parabola corrispondenti allo stesso diametro stanno 

 fra loro come le corrispondenti ascisse contate dal vertice. 



Prop. 21. So si conducono delle ordinato in un' iperbola o in un'ellisse, il quadrato di ciascuna 

 sta al rettangolo dei segmenti del corrispondente lato trasverso come il lato rotto sta al lato trasverso; 

 quindi ì quadrati di due ordinate qualunque stanno fra loro come i corrispondenti rettangoli costruiti 

 sui -■legmenti ^el lato trasverso. 



