420 IL PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



dell'opera di Apollonio (!) — è di determinare un cono su cui stia una data curva di 

 8econ<l 'ordine, e quindi implicitamente di mostrare che tutte queste curve possono 

 trovarsi su un cono qualsivoglia. 



6. Al secondo Libro è premessa una lettera ad Eudemo la quale, se non contiene 

 alcun dato scientifico interessante, getta però qualche luce sul modo in cui ai tempi 

 di Apollonio si riusciva a diffondere le opere dell'ingegno. In esso libro viene, in 

 primo luogo, insegnato un procedimento per costruire le rette (asintoti) che non in- 

 contrano un'iperbola quando della curva si conosce già un diametro e la direzione 

 delle corrispondenti ordinate : basta congiungere il centro con gli estremi delle ordinate 

 condotte per il vertice della curva e medie proporzionali fra il lato retto e il lato 

 trasverso (prop. 1). Ogni retta condotta pel centro entro l'angolo degli asintoti incontra 

 la curva (prop. 2); gli asintoti fungono quindi da elementi di separazione fra le rette 

 condotte pel centro che incontrano la curva e quelle che non l'incontrano, opperò si 

 ottengono nella stessa posizione qualunque sia il diametro che serve a costruirli me- 

 diante la prop. 1. La distanza fra un punto della curva e un asintoto diminuisce 

 indefinitamente quando il punto allontanasi indefinitamente dal centro della curva 

 (prop. 14). Fra una tangente cjualunque e gli asintoti passano notevoli relazioni; così 

 ad es. il segmento di qualsiasi tangente intercetto dagli asintoti è bisecato dal punto 

 di contatto (la reciproca di quest'affermazione trovasi più innanzi, prop. 9) e il suo 

 quadrato è eguale al rettangolo del lato retto e del lato trasverso relativi al diametro 

 passante per questo punto (prop. 3). Dalla prima parte di questo teorema segue subito un 

 metodo per costruire (cioè per determinare lato retto e lato trasverso di) un'iperbola di cui 

 si conoscano gli asintoti e un punto. Dopo una breve digressione concernente le relazioni fra 

 una tangente di una conica, il diametro passante pel punto di contatto e le corde parallele 

 a quella tangente, Apollonio ritorna a considerare gli asintoti per dimostrare che essi 

 e l'iperbola determinano su una trasversale qualunque due segmenti aventi lo stesso 

 punto medio (la verità analoga per due sezioni opposte è dimostrata nella prop. 16), 

 e che, se una retta incontra un'iperbola e i suoi asintoti, quattro volte il rettangolo dei 

 segmenti compresi fra uno dei punti della curva e i punti degli asintoti eguaglia il 

 rettangolo del lato retto e del lato trasverso corrispondenti al diametro che passa per 

 quel punto (prop. 10): ne ad Apollonio sfugge come questa proposizione si verifichi 

 anche allorquando la retta incontra i lati dell'angolo adiacente a quello degli asintoti 

 epperò taglia la curva in un solo punto (prop. 11). La prop. 12 contiene in sostanza 

 l'equazione di un'iperbola riferita agli asintoti, ma sotto forma più generale P); la 13 

 afferma la unicità, del punto d' intersezione d'un' iperbola con una retta parallela a un 

 asintoto; finalmente che due sezioni opposte abbiano gli stessi asintoti, s'impara dal 

 teorema successivo. 



La proposizione seguente inaugura una serie di proprietà in cui interviene l' iper- 

 bola coniugata a una data, avendo per fine di fare noto che questa ha comuni con 

 quella gli asintoti. Le prop. 18-23 e 43 insegnano altre relazioni fra corde, tangenti 



(1) Zeuthen, III Gap. dell'Op. cit. 



(2) t'ei'chà afferma essere costante il rettangolo delle rette condotte da un punto della curva agli 

 Asintoti sotto angoli quatun^e. 



