422 IL PERIODO AUREO DEIJ.A GEOMETRIA GRECA 



a due rette date stia in un rapporto dato col prodotto di due rette condotte simil- 

 mente ad altre due rette date, oppure col quadrato di una retta condotta sotto un 

 angolo dato a una retta data (*), induce a credere, che esse appartenessero a quelle 

 verità colle quali il geometra di Perga potè — come egli afferma nella prefazione 

 dianzi (n. 2) riportata — rendere perfetta la sintesi del celebre locus ad trcs uut 

 quatitor ìincas. 11 contenuto di esse può riassumersi così : 



Prof. 24-26 e 28. Date due iperbole coniugate, di cui due diametri coniugati 

 hanno per lunghezze a e 6, e un punto esterno M\ se la parallela condotta da M 

 al primo di questi diametri incontra una delle curve in P e P', mentre la parallela 

 al secondo incontra l'altra in Q e Q' , fra i segmenti rettilinei risultanti sussisteranno 

 le relazioni: 



MP.3IP' 3IQ.MQ'_Ì MP' + MP _a^ 



a' b' ~2' WQ^ + MQ^^b^ ' 



Prop. 29. — E se la prima delle anzidette parallele incontra gli asintoti in 

 R e E', si avrà inoltre 



MR' + MR''--\a' _a' 

 MQ^ + MQ" "b'' 



Prop. 27. - Se MM' e NN' sono due corde d'un'ellisse parallele a due dia- 

 metri coniugati e il loro punto di incontro, sarà 



oai' + om' on'-+on''- , ,„. 



; 1 p = 1 ^'^l- 



«■ 



La verificazione di queste proposizioni è facilissima applicando la Geometria 

 analitica: in modo non sostanzialmente diverso procede Apollonio nel renderne palese 

 la verità. 



Le prop. 30-40 appartengono alla teoria dei poli e delle polari; adoperando 

 la nomenclatura moderna esse si riassumono nei due teoremi seguenti: 



L Se da un punto a una conica si conducono due tangenti e una secante, 

 il segmento determinato su questa dalle curve è diviso armonicamente dal punto dato 

 e dalla congiungente i punti di contatto delle tangenti. 



II. Se da un punto si conduce la parallela alla sua polare rispetto a una 

 conica, ogni corda di questa passante pel punto medio del segmento determinato dalla 

 curva su quella polare è divisa armonicamente da questo punto e da quella polare. 



Possiamo riunire ad esse la prop. 44 la quale insegna che la polare di un 

 punto rispetto a un'iperbola è parallela a due delle rette congiungenti a coppie le 

 intersezioni degli asintoti colle tangenti guidate da quel punto alla curva. 



Quest'ultimo teorema ò separato dagli altri sui poli e le polari, da un gruppo 

 di tre proposizioni di valore eccezionale. La prima dice che una tangente mobile di 

 una parabola determina su due tangenti fisse punteggiate simili; la seconda, che una 



(1) V. Zbuthen, Op. cit., Cap. VII. 



(2) Per un'iperbola sì avrebbe un teorema analogo: basta nell'equazione del testo cambiare la 

 somma ebe sta noi primo membro in una difTeronza. 



