SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 423 



tangente mobile di una ellisse o di un" iperbola determina su due tangenti parallele 

 fisse a partire dai rispettivi punti di contatto due segmenti il cui prodotto è costante ; 

 la terza finalmente, che è costante l'area del triangolo determinato da una tangente 

 a un' iperbola e gli asintoti. L'importanza di queste proposizioni è dovuta in primo 

 luogo al dimostrare esse che ai Greci non fu estranea, almeno in casi particolari, la 

 generazione delle coniche come inviluppo delle congiungenti i punti corrispondenti di due 

 punteggiate proiettive; fin dove essi si siano spinti percorrendo questo cammino è incerto, 

 ma quello che è indiscutibile si è che i tre citati teoremi permettono la costruzione 

 di tutte tre le coniche come inviluppi, mentre d'altronde è dubbio se i Greci posse- 

 dessero la nozione generale di inviluppo come avevano quella di luogo (*). Notiamo 

 in secondo luogo che la prop. 41 riduce la determinazione delle tangenti di una parabola 

 che escono da un punto a quella questione che, come vedremo (n. 13), fu distinta col 

 nome di problema della sezione di ragione, mentre le 42 e 43 riconducono le determi- 

 nazioni analoghe per le altre coniche al prohìcmn della sezione di spazio (cfr. n. 13) (2). 

 Nella prop. 45 Apollonio introduce i fuoclii delle coniche a centro sotto il nome 

 di (yr,[iàc/. Ìa. ziig 7:cfpc/.^olY,g(-^^\ egli li definisce come quei punti dell'asse le cui di- 

 stanze dai corrispondenti vertici danno un rettangolo eguale alla quarta parte del 

 rettangolo del lato retto e del lato trasverso; dimostra, prima d'ogni altra cosa, 

 che il segmento di una tangente qualunque limitato dalle tangenti nei vertici è visto 

 da un fuoco sotto un angolo retto, e ne deduce (prop. 46) che ogni tangente di una 

 conica forma angoli eguali colle congiungenti il fuoco col punto di contatto. Trova 

 poi (prop. 47) che le intersezioni di una tangente colle tangenti nei vertici sono con- 

 giunte ai fuochi da due rette il cui punto d'incontro ha per projezione ortogonale 

 sulla tangente il punto di contatto di essa. Nella prop. 48 si apprende che l'angolo 

 delle tangenti condotte da un punto a una conica, e l'angolo delle congiungenti questo 

 punto coi fuochi hanno la medesima bisettrice ; e, dopo avere imparato quale sia la 

 curva podaria di un fuoco (prop. 49 e 50), arriviamo (prop. 51 e 52) all'importan- 

 tissima relazione che connette i raggi vettori di un punto qualunque di una conica 

 a centro. Tali sono le proprietà focali delle coniche insegnate da Apollonio W. Erano 

 esse le uniche a lui note ? oppure si è egli limitato a dimostrai-le ritenendole come 

 quelle più importanti per lo scopo che egli si prefisse nel IH Libro, di dare cioè i 

 fondamenti per determinare i luoghi ? in pai'ticolare erano ai suoi tempi ignoti i 

 fuochi delle parabole (5), sconosciute le direttrici e le relazioni di queste con i 

 fuochi ? Ci limitiamo a proporre queste questioni a cui è impossibile dare ora SO- 



CI) MoNTUCLA (op. cit. T. II p. 120) attribuisce a Florimond de Beaune (1601-1651) la nozione 

 generale di inviluppo. 



(2' E opinione di Halle?, condivisa da Zeuthen (op. cit.. p. 344-5), che quest'intima connessione fra 

 la teoria delle coniche e i due citati problemi non sia rimasta ignota al geometra Greco. 



(3) È noto che questi punti ricevettero il nome di fuochi di Kepler(1571-1630) nel 1604. V. ad es. 

 C. Taylor, An Introduction lo Ancient and Modem G-iomelry of Conics p. LVII. 



(4) Cfr. anche l'articolo del Tekquem, Théorie des fotjers d'après ApoUonms {Nouvelles Ann. d. 

 Math., t. Ili, 1844, p. 412-416) 



(5) In generale si propende ad ammettere in Apollonio la conoscenza del fuoco della parabola; 



così il Tannery dice: < Je crois , que si Apollonius n' a pas parie du foyer de la parabole, c'est 



qu'il n'avait rien à en dire plus que ce qu' en avait déjà dit Aristée. • {BuUetin des Sciences mathé- 

 matiques, li Serie, t. XIH, 1889, I Partie, p. 277). 



