424 IL PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



luzione definitiva (*). Osserviamo piuttosto che , mentre nessuno può sostenere clie i 

 teoremi da ultimo esaminati formino un'esposizione completa delle proprietà focali 

 delle coniche , pure all'opera del geometra di Perga deve ricorrere chiunque voglia 

 delle dimostrazioni di quei teoremi di insuperabile eleganza e semplicità. 



Le ultime quattro proposizioni del libro in esame, analizzate accuratamente da 

 un lettore moderno, gli fanno provare una di quello gradite sorprese che rendono 

 tanto seducente lo studio delle antiche opere matematiche. Ivi Apollonio considera le 

 punteggiate determinate su due tangenti di una conica dai fasci che projettano i punti 

 della curva dai rispettivi punti di contatto e trova fra esse delle relazioni che espri- 

 mono la loro projettività. Quindi i geometri Greci conobbero, almeno in alcuni casi, 

 l'omografia dei fasci che projettano i punti di una conica da due punti fissi di essa ; 

 essi dunque ebbero notizia di alcuni casi speciali di quella proposizione che i moderni 

 posero a fondamento di tutta la teoria delle coniche P). 



8. Quale scopo abbia e quanta originalità possieda il IV Libro delle Coniche 

 si desume dalla lettera dedicatoria ad Attalo che Apollonio vi ha premesso e dalla 

 quale togliamo il seguente bi'ano : 



« Questo Libro insegna in quanti punti al massimo si possono incontrare due 

 sezioni coniche o una sezione conica e un cerchio senza coincidere, inoltre in quanti 

 punti al massimo una conica e una circonferenza possono segare due sezioni opposte, 

 oppure due sezioni opposte altre due, e di più una serie di cose simili. Sul primo 

 di questi argomenti scrisse già a Trasideo Conone da Samo, senza però fare esatta- 

 mente le dimostrazioni, per la qual cosa Nicotele da Cirene gli mosse delle giuste 

 obbiezioni. Il secondo argomento fu solo nominato da Nicotele nel suo scritto contro 

 Conone come una cosa che si può dimostrare ; ma io non l'ho mai visto dimostrato 

 né da lui, né da altri. Il terzo e gli altri ad esso connessi, per quanto mi cousta, 

 non vennero mai in mente ad alcuno. Tutte le cose dette, non avendole io trovate 

 dimostrate da altri, esigono molti e vari teoremi ; essi furono esposti per la maggior 

 parte da me nei primi tre libri, gli altri Io sono in questo. La considerazione di essi 

 è poi di non lieve utilità nella sintesi e nel diorisma di problemi. A dir vero Nicotele 

 nella sua polemica con Conone afi'erma che nessuna delle cose trovate da Conone è 

 utile pei diorismi; ma ciò è inesatto; percliè, sebbene si possano fare dei diorismì 

 senza di esse, pure col loro aiuto è assai più facile il farli , il trovare cioè se un 

 problema ha parecchie soluzioni e quante o se non ne ha. Tale previa determinazione 

 porge un punto di partenza eccellente in molte ricerche e quei teoremi sono utilissimi 

 nelle analisi dei diorismi. Ma anclie indipendentemente da questi vantaggi le dimostrazioni 

 sono per il loro valore intrinseco degne di venire bene accolte, dal momento che è nostro 

 costume ammettere nella Matematica molte altre cose per quest'unica ragione ». 



Il metodo usato da Apollonio per raggiungere l'intento che egli s'era prefisso 

 consiste in un'ingegnosa ed elegante riduzione all'assurdo; esso ha il suo fondamento 



;1) Intorno a tali questioni vedi Zeutrb.n, op. cit., Cap. XV. 



(2) 11 primo a segnalare il significato straordinariamente importante di questo passo fu, per 

 quanto ci consta, il Balsam Des Apollonius con Perga sieben Bùcher iXber Kegelschnitte, cìeutsch bear- 

 beilet, lierlia 1861, p. 134); indipendentemente da luì, esso fu di nuovo indicato dallo Zeuthgn(op. cit., 

 p. i22 e seg.). 



