SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 425 



nelle proprietà delle polari dimostrate da lui nel Libro precedente e in quelle ana- 

 loghe contenute nelle prime ventitré proposizioni del libro attuale. Su tali proposi- 

 zioni crediamo superfluo l'arrestarci, perchè il loro contenuto si compendia oggi in poche 

 verità elementari a tutti note. Piuttosto, a fine di dare al lettore un'idea del pro- 

 cedimento anzidetto, indichiamo qui il ragionamento adoperato da Apollonio per di- 

 mostrare che « due coniche non possono segarsi in più di quattro punti » (prop. 23). 

 Siano, se è possibile, A B C D E cinque punti comuni a due coniche e consecutivi, 

 tali cioè che fra uno qualunque di essi e il seguente non si trovi altra intersezione 

 delle due curve. Condotte le rette AB e CD, queste s'incontreranno fuori della curva 

 saranno parallele. Se esse s'incontrano in L, si conduca LE e si determinino i 

 coniugati armonici di L tanto rispetto ad A B quanto rispetto a C D ; siano P e G 

 i punti trovati. La retta F G incontri E L in H e sia M il coniugato armonico di 

 E rispetto a L e H. Questo punto M sarà comune alle due coniche e cadrà fra B 

 e C contro l'ipotesi fatta. Se invece AB e CD risultano parallele, se ne congiungano 

 i punti medi F e G, si tiri da E la parallela ad AB e, determinatane l'intersezione con 

 F G, si prolunghi di altrettanto ; si trova così nuovamente un punto M comune alle 

 due coniche e posto fra B e C, ancora contro l'ipotesi fatta. Dunque in entrambi i 

 casi il supporre che le coniche abbiano comuni cinque punti conduce a un assurdo, 

 epperò esse non possono tagliarsi in piii di quattro. 



È inutile che ci dilunghiamo ad esporre il contenuto delle trenta proposizioni 

 nelle quali Apollonio esamina separatamente le rispettive posizioni che possono avere 

 due sezioni coniche (dopo avere dimostrato nella prop. 24 che esse non possono avere 

 qualche parte comune senza coincidere) perchè al lettore riuscirà agevole l'imaginarle. 

 Soltanto rileveremo che per gli antichi tali proposizioni erano di uso continuo nella 

 determinazione del numero delle soluzioni di problemi di grado superiore al secondo ; 

 esse completavano quella parte della teoria delle sezioni coniche che è indispensabile 

 per risolvere il problema della duplicazione del cubo. 



9. Il V Libro ha un fine determinato esplicitamente dichiarato da Apollonio 

 tanto nella prefazione generale dell'opera quanto in quella che, sotto forma di lettera 

 dedicatoria ad Attalo, egli ha premessa al Libro stesso : vale a dire lo studio delle rette 

 massime e minime che si possono condurre da un punto a una linea di secondo ordine. 

 La grande importanza di esso per molti riguardi è manifesta. Prima di tutto esso 

 può venire considerato come un non ispregevole contributo alla teoria geometrica dei 

 massimi e minimi. In secondo luogo esso forma un capitolo importante della teoria 

 delle coniche, relativo a normali e evolute ; se anche tutti non possono accettare 

 l'opinione di coloro W i quali ammettono che Apollonio abbia riconosciuta l'esistenza 

 di una curva continua luogo dei punti da cui parte una sola normale di una conica 

 (cioè dell'evoluta), non si può affermare che a lui sia sfuggita la esistenza di questi 

 punti singolari. In terzo luogo ivi si trova una soluzione e una discussione completa 

 del problema solido che consiste nel determinare le normali di una conica che pas- 

 sano per un punto dato. 



Il libro V delle Coniche ò quello che ha più contribuito ad innalzare Apollonio 



(1) P. es. MoNTUCLA (Op. cit., t. 1, p. 247) e, con qualche riserva, Chaslks {Àperfus hist., p. 20). 



