426 IL PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



nell'estimazione universale ; e l'ammirazione per lui sorge anche oggidì in chiunque nel 

 percorrere questo libro , rifletta alle enormi difficoltà che dovette superare per risol- 

 vere coi metodi che erano a sua disposizione le questioni che si era proposte ; questa 

 ammirazione si mutò in alcuno W nel sospetto che egli tenesse per scoprire la verità 

 una via diversa da quella da lui seguita per esporla ; ma è proprio necessario ricorrere 

 a queste congetture? La storia della Scienza non presenta forse molti esempi di uomini 

 a cui la sagacia naturale e la potenza del genio permise di trarre risultati insperati 

 da metodi che, adoperati da altri, si erano manifestati soltanto di fecondità limitata? 

 Volendo indicare anche di questo libro le proposizioni più salienti (benché ciò 

 presenti pel V Libro difficoltà di gran lunga maggiori che pei precedenti), osserve- 

 remo che le prime tre proposizioni di esso fanno l'ufficio di lemmi per le seguenti, 

 dando una rappresentazione grafica, non priva di interesse, dell'equazione cartesiana 

 di una conica a centro. Premesse queste, Apollonio si volge a considerare le rette mas- 

 sime e minime che si possono condurre a una conica da punti del piano di essa 

 scelti in posizioni speciali e il modo con cui dalle duo parti di esse si distribuiscono 

 le altre rette. 1 punti che si presentano spontaneamente per primi sono quelli dell'asse: 

 tutti godono la proprietà di avere l'asse stesso per corrispondente retta minima e , 

 se la curva è ellittica, anche per retta massima. Fra essi hanno speciale importanza 

 quei punti V che distano da un vertice A di una lunghezza eguale al seuiilato retto 

 (è necessario osservare che sono le intersezioni dell'asse coU'evoluta della curva ?) ; 

 ad essi sono consacrate le prop. 4-6, mentre la 7 si riferisce ai punti del segmento 

 AV e le 8-10 ai punti dell'asse esterni al segmento stesso. Ma per l'ellisse vi è 

 sull'asse un altro punto notevole, il centro, e la prop. 1 1 assegna i valori estremi 

 delle rette passanti per esso. Dopo avere poi dimostrato (prop. 12) che una delle 

 rette minime dianzi considerate è tale rispetto a qualunque suo punto, Apollonio nota 

 essere possibile che da un punto dell'asse di una conica parta una retta minima di- 

 versa da questo e, supposto che esista realmente, ne stabilisce delle proprietà (prop. 

 13-15); e quindi, ben conoscendo l'uniformità di comportamento dei due assi di 

 un'ellisse, estende all'asse minore i risultati già ottenuti per l'asse maggiore (prop. 

 16-23). Le tre proposizioni seguenti concernono un'altra categoria di punti parti- 

 colari, cioè quelli della curva, e insegnano che per uno di essi passa non più di una 

 retta minima, e, se la curva è un'ellisse, non più di una retta massima. I sette teoremi 

 seguenti insegnano finalmente che se la congiungente di un punto qualumiue con un 

 punto di una conica è minima essa è perpendicolare alla tangente della curva in 

 quest'ultimo punto, vale a dire, per dirlo in linguaggio moderno, essa è una normale 

 della curva. Apollonio aggiunge la generalizzazione della prop. 12 (v. più sopra) a 

 rette minime qualsivogliano e poi ritorna per un momento ancora (prop. 35-37) sulle 

 rette minime guidate da un punto dell'asse per dimostrare come siano rivolte rispetto 

 ai vertici. Finora Apollonio aveva considerate isolatamente le normali e su ciascuna 

 aveva considerati due soli punti, cioè il punto donde parte e il punto ove è normale 

 alla conica ; nelle prop. 38-43 invece si occupa delle intersezioni di normali fra loro 

 e colla conica. Le undici seguenti, riferendosi al numero delle normali conducibili da 



(1) Cantok, Vorlesiingen, p. 294-95. 



