SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 



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un punto (numero che non può essere maggiore di tre), danno gli elementi per la 

 discussione del problema di condurre da un punto le normali a una conica, problema 

 che viene studiato nelle proposizioni seguenti (prop. 58-61 per un punto esterno, 

 prop. 62-63 per uno interno). La soluzione di Apollonio consiste nel determinare 

 un'iperbola equilatera secante la curva nei piedi delle normali condotte a questa dal 

 punto dato, basandosi sull'espressione da lui dianzi trovata della sottonormale ; come 



si sa, se =h— = 1 oppure 3/'=2jja; è l'equazione della curva data, sarà {a"^^})^) 



xy — a'a'.y±:h^^x = oppure xy—(x—p)y—p^=^0 l'equazione della curva ausi- 

 liare, se c( e fi sono le coordinate del punto pel quale devono passare le normali. 

 Notiamo che nel caso della parabola i piedi delle tre normali stanno su una circon- 

 ferenza passante pel vertice (quella di equazione x^ +y^ ~(a-\-p)x ^ i^ 2/ =0) ; 



Apollonio non lo rileva, onde è stato W supposto che questo sia il punto del V Libro 

 che forni a Pappo l'occasione di criticare (nel passo da noi riportato nel n. 8 del 

 Gap. II) Apollonio per avere adoperata una conica quand'era sufficiente servirsi di una 

 circonferenza (2). 



Le ricerche di cui da ultimo abbiamo fatto cenno sono forse le più importanti 

 del V Libro. Apollonio in seguito dimostra certe proprietà dei punti interni all'evo- 

 luta o appartenenti ad essa (prop. 64-67 e 73), stabilisce un confronto, prima fra le 

 lunghezze delle due tangenti condotte da un punto a una conica (prop. 68-71), poi 

 fra le normali condotte da un ponto pel quale ne passano due soltanto (prop. 72-74), 

 e in fine fra quelle condotte da un punto attraversato da tre normali. Chiudono il 

 libro due proposizioni riflettenti la grandezza relativa delle normali condotte da un 

 punto dell'asse non focale dal quale ne emanano tre. 



10. Il libro VI non solo è assai più breve, ma ha un valore incomparabilmente 

 minore di quello del precedente ; ne è soggetto la similitudine e la congruenza delle 

 coniche. Apollonio riconosce — nella lettera ad Attalo che accompagna il detto libro 

 — che tutto il contenuto di esso non è opera sua. E noi stessi lo possiamo verificare 

 osservando che nello scritto Su i conoidi e gli sferoidi Archimede diede per queste 

 figure delle definizioni di similitudine basate su certi criteri per decidere se due co- 

 niche siano simili; inoltre, non si può dissimulare che alcuni teoremi dimostrati da 

 Apollonio sono di verità intuitiva ; onde si può ammettere che per comporre il VI Libro 

 il geometra di Perga abbia ordinati materiali già esistenti e compostone un tutto orga- 

 nico cementandoli con parziali ricerche originali. 



(1) Zeuthkn, Op. cil., p. 285 e seg. 



\^2) Un'altra spiegazione proposta da Hultsch nella nota 5, p. 273 della sua edizione di Pappo 

 fu combattuta, a nostro avviso vittoriosamente, da P. Tannery (Sur une critique ancienne d'une dé- 

 monttration d' Archimede ; Mém. de la Soc.dcs Sciences phys. et nat. de Bordeaux, 11 Serie, t. V, 1884, 

 p. 51-52J; il quale presenta a sua volta una terza spiegazione colle parole seguenti: « Gependant 

 l'ceuvre d'ApoUonius présente une véritable lacune; la construction piane àe la seconde normale pas- 

 sant par un point considéré sur l'enveloiipe [des normale»] n'est pas donnóe. Etait-co cette lacune que 

 signalait la cntique? Elle tómoignerait alors d"un progròa important accompli, après ApoUonius, dans 

 une théorie ou l'ou ne sache pourtant pas qu'aucun ancien l'ait jamais dépasst. C'est, semble-t-il, la 

 seule hypotbèse qui puisse attribuer à cette critique une portée sérieuse; mais malheureusement cette 

 hypotbèse demauderait une contìrmation qu'il parait bien difficile de lui trouver. » 



