SAGGIO STOKICO DI GINO LOKIA 375 



E la stessa critica si può muoyere e con maggior ragione all' ubicazione dei postu- 

 lati; che fra di essi ve n'ha uno (la celebre crux geometrica degli Elementi 1^)) 

 che, al posto in cui si trova, riesce assai oscuro per essere la proposizione reciproca 

 di una dimostrata poi. Eiguardo ai postulati giova poi anche notare che la collezione 

 euclidea pecca per incompletezza : ben lo riconobbero i migliori fra i trattatisti recenti, 

 che misero ogni cura nel determinare tutti i dati di fatto che è necessario dedurre dalla 

 testimonianza dei sensi per potere collocare su basi incrollabili il sistema di Geometria 

 di Euclide. 



7. Le prime tre proposizioni del 1° Libro hanno per iscopo di mostrare che 

 colle operazioni consentite dai tre postulati dianzi citati, si può costruire un triangolo 

 equilatero su una retta data , portare a partire da un punto dato un segmento rettilineo 

 eguale a uno dato e tagliare da una retta una retta eguale a una data minore di quella. 

 Euclide passa poi a dimostrare alcune proposizioni sui triangoli isosceli, sugli angoli 

 adiacenti e opposti al vertice, e sulla dipendenza di grandezza relativa fra gli angoli 

 ei lati dei triangoli; considera quindi i casi di eguaglianza di due triangoli per pas- 

 sare alla teoria delle parallele nell'intento di applicarla alla dimostrazione di proprietà 

 di triangoli e parallelogrammi. Il Libro si chiude colla dimostrazione (che, se si presta 

 fede a quanto attesta Proclo, è proprietà di Euclide) del teorema di Pitagora e del 

 suo inverso. 



La sostanza di questo libro e del seguente doveva essere nota ai Pitagorici i^). 



8. 11 II Libro si apre con dieci proposizioni le quali si possono esprimere facil- 

 mente in linguaggio algebrico (3), convenendo di indicare con a, b,... delle rette, col 

 prodotto a 6 il rettangolo delle due rette a e b e con a^ il quadrato di lato a ; con 

 tali convenzioni esse equivalgono alle seguenti identità: 



m{a + b-\-c-\-. . .) = ma + mb + nìc-\-. . . 



{a + h)a + (a + b)b = (a+by 



{a + b)a=^a'+ ab 



(a + by=a*+b*+2ab 



la + bV 





(1) « Se una retta cadendo su due altre fa gli augoli interni dalla stessa parte minori di due 

 retti, queste rette prolungate s'incontreranno dalla parte da cui gli angoli sono minori di due retti s_ 



(2) Cfr. Allman, Greek Geometry from Tliales to EucHd (Dublin 1889; p. 47 e 211; e per tutto 

 quanto concerne La constilution des Éléments l'opera citata del Tannery p. 95-107. 



(3) Che queste proposizioni appartengano apparentemente alla Geometria ma in fatto all'Aritmetica 

 è dimostrato dall'uso fattone poi da Teone e Diofanto. L'invenzione di esse è attribuita dall'AuLMAN 

 agli Egiziani ; egli dice a p. 37 della citata opera : « I bave little esitation in attributing to the 

 Egyptians the contaut of the first ten propositions of the second hook of Euclid. > 



